1. Температура воздуха в комнате изменилась от 7 до 27 °С. На сколько процентов уменьшилось число молекул в комнате?

1. Температура воздуха в комнате изменилась от $T_1 = 7 \text{ °C}$ до $T_2 = 27 \text{ °C}$. Сначала переведём температуру в Кельвины: $$T_1 = 7 + 273 = 280 \text{ К}$$ $$T_2 = 27 + 273 = 300 \text{ К}$$ Допущение: объём комнаты и давление не меняются. Тогда по закону Шарля количество вещества (а значит, и число молекул) прямо пропорционально температуре. Если давление и объем постоянны, то число молекул не меняется. Однако, если речь идет об уменьшении числа молекул, то, скорее всего, имеется в виду, что часть воздуха *вышла* из комнаты из-за повышения температуры при неизменном давлении и объеме. В таком случае, число молекул обратно пропорционально абсолютной температуре (из уравнения состояния идеального газа $PV = nRT$, если $P$ и $V$ постоянны, то $n \sim 1/T$). Если число молекул при $T_1$ было $N_1$, а при $T_2$ стало $N_2$, то: $$\frac{N_2}{N_1} = \frac{T_1}{T_2}$$ $$\frac{N_2}{N_1} = \frac{280}{300} = \frac{28}{30} = \frac{14}{15} \approx 0.933$$ Уменьшение числа молекул в процентах: $$\left(1 - \frac{N_2}{N_1}\right) \cdot 100\% = \left(1 - \frac{14}{15}\right) \cdot 100\% = \frac{1}{15} \cdot 100\% \approx 6.67\%$$ **Ответ:** Число молекул в комнате уменьшилось примерно на 6.67%. 2. Дано: Средний квадрат скорости молекул $\overline{v^2} = 10^6 \text{ (м/с)}^2$ Концентрация молекул $n = 3 \cdot 10^{25} \text{ м}^{-3}$ Масса каждой молекулы $m_0 = 5 \cdot 10^{-26} \text{ кг}$ Давление газа $P$ можно найти по формуле: $$P = \frac{1}{3} n m_0 \overline{v^2}$$ Подставим значения: $$P = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 10^{25} \text{ м}^{-3}) \cdot (5 \cdot 10^{-26} \text{ кг}) \cdot (10^6 \text{ (м/с)}^2)$$ $$P = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 10^{25} \cdot 10^{-26} \cdot 10^6 \text{ Па}$$ $$P = 5 \cdot 10^{(25 - 26 + 6)} \text{ Па}$$ $$P = 5 \cdot 10^5 \text{ Па}$$ **Ответ:** Давление газа составляет $5 \cdot 10^5 \text{ Па}$. 3. Дано: Объём колбы $V = 1.2 \text{ л} = 1.2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$ Число атомов гелия $N = 3 \cdot 10^{22}$ Давление газа в колбе $P = 10^5 \text{ Па}$ Средняя кинетическая энергия атома $E_k$ связана с давлением $P$ и концентрацией $n$ формулой: $$P = \frac{2}{3} n E_k$$ Сначала найдём концентрацию атомов $n$: $$n = \frac{N}{V}$$ $$n = \frac{3 \cdot 10^{22}}{1.2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3} = \frac{3}{1.2} \cdot 10^{(22 - (-3))} \text{ м}^{-3} = 2.5 \cdot 10^{25} \text{ м}^{-3}$$ Теперь выразим $E_k$ из формулы давления: $$E_k = \frac{3P}{2n}$$ Подставим значения: $$E_k = \frac{3 \cdot (10^5 \text{ Па})}{2 \cdot (2.5 \cdot 10^{25} \text{ м}^{-3})} = \frac{3 \cdot 10^5}{5 \cdot 10^{25}} \text{ Дж}$$ $$E_k = 0.6 \cdot 10^{(5 - 25)} \text{ Дж} = 0.6 \cdot 10^{-20} \text{ Дж} = 6 \cdot 10^{-21} \text{ Дж}$$ **Ответ:** Средняя кинетическая энергия каждого атома равна $6 \cdot 10^{-21} \text{ Дж}$. 4. Дано: Масса газа $m = 6 \text{ кг}$ Объём $V = 4.9 \text{ м}^3$ Давление $p = 200 \text{ кПа} = 200 \cdot 10^3 \text{ Па} = 2 \cdot 10^5 \text{ Па}$ Давление идеального газа связано со средней квадратичной скоростью молекул формулой: $$P = \frac{1}{3} \rho \overline{v^2}$$ где $\rho$ — плотность газа. Плотность газа $\rho$ можно найти как отношение массы к объёму: $$\rho = \frac{m}{V}$$ $$\rho = \frac{6 \text{ кг}}{4.9 \text{ м}^3} \approx 1.224 \text{ кг/м}^3$$ Теперь выразим средний квадрат скорости $\overline{v^2}$ из формулы давления: $$\overline{v^2} = \frac{3P}{\rho}$$ Подставим значения: $$\overline{v^2} = \frac{3 \cdot (2 \cdot 10^5 \text{ Па})}{1.224 \text{ кг/м}^3} \approx \frac{6 \cdot 10^5}{1.224} \text{ (м/с)}^2$$ $$\overline{v^2} \approx 4.897 \cdot 10^5 \text{ (м/с)}^2$$ **Ответ:** Средний квадрат скорости движения молекул газа примерно равен $4.897 \cdot 10^5 \text{ (м/с)}^2$.