Докажите, что если медиана треугольника является его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.

Question

Вопрос:

Докажите, что если медиана треугольника является его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

1. **Доказательство.** Рассмотрим треугольник $ABC$, у которого отрезок $BM$ — медиана и биссектриса. Надо доказать, что $AB = BC$. На луче $BM$ отложим отрезок $MD$, равный $BM$. В треугольниках $AMD$ и $CMB$ имеем: $AM = CM$ (так как $BM$ — медиана), $BM = DM$ (по построению), углы $AMD$ и $CMB$ равны как вертикальные. Следовательно, треугольники $AMD$ и $CMB$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Тогда стороны $AD$ и $BC$ равны как соответственные стороны равных треугольников, углы $ADM$ и $CBM$ равны как соответственные углы равных треугольников. Так как $BD$ — биссектриса угла $ABC$, то $\angle ABM = \angle CBM$. Тогда получаем, что $\angle ABM = \angle ADM$. Следовательно, треугольник $DAB$ — равнобедренный, так как углы при основании $BD$ равны ($\angle ABD = \angle ADB$). Отсюда $AD = AB$. И уже доказано, что $AD = BC$. Поскольку $AD = AB$ и $AD = BC$, то $AB = BC$. Это значит, что треугольник $ABC$ равнобедренный. Что и требовалось доказать.

Докажите, что если медиана треугольника является его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.

Ответ ассистента

Другие решения