Сережа задумал два натуральных числа. Он забыл задуманные числа, но точно помнит, что их сумма равна 22, а про разность абсолютно уверен, что она меньше 14, но больше 10. Какие два числа задумал Сережа? Найдите все варианты и докажите, что других нет.

Question

Вопрос:

Сережа задумал два натуральных числа. Он забыл задуманные числа, но точно помнит, что их сумма равна 22, а про разность абсолютно уверен, что она меньше 14, но больше 10. Какие два числа задумал Сережа? Найдите все варианты и докажите, что других нет.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Пусть Сережа задумал числа $x$ и $y$. По условию задачи: 1. Сумма чисел равна 22: $$x + y = 22$$ 2. Разность чисел больше 10, но меньше 14: $$10 < |x - y| < 14$$ Из первого условия выразим $y = 22 - x$. Подставим это во второе условие: $$10 < |x - (22 - x)| < 14$$ $$10 < |2x - 22| < 14$$ Это неравенство можно разбить на два: 1. $$2x - 22 > 10$$ или $$2x - 22 < -10$$ 2. $$2x - 22 < 14$$ или $$2x - 22 > -14$$ Рассмотрим каждый случай: **Случай 1: $2x - 22 > 0$** Тогда $|2x - 22| = 2x - 22$. $$10 < 2x - 22 < 14$$ Прибавим 22 ко всем частям неравенства: $$10 + 22 < 2x < 14 + 22$$ $$32 < 2x < 36$$ Разделим все части на 2: $$16 < x < 18$$ Так как $x$ — натуральное число, то $x$ может быть $17$. Если $x = 17$, то $y = 22 - 17 = 5$. Проверим разность: $|17 - 5| = |12| = 12$. Это значение находится между 10 и 14 ($10 < 12 < 14$). **Случай 2: $2x - 22 < 0$** Тогда $|2x - 22| = -(2x - 22) = 22 - 2x$. $$10 < 22 - 2x < 14$$ Вычтем 22 из всех частей неравенства: $$10 - 22 < -2x < 14 - 22$$ $$-12 < -2x < -8$$ Разделим все части на -2. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные: $$\frac{-12}{-2} > x > \frac{-8}{-2}$$ $$6 > x > 4$$ То есть $4 < x < 6$. Так как $x$ — натуральное число, то $x$ может быть $5$. Если $x = 5$, то $y = 22 - 5 = 17$. Проверим разность: $|5 - 17| = |-12| = 12$. Это значение находится между 10 и 14 ($10 < 12 < 14$). Таким образом, есть две пары чисел: (17, 5) и (5, 17). **Ответ:** Сережа задумал числа 5 и 17.

Ответ ассистента

Похожие задачи

Другие решения