Какие два числа задумал Серёжа? Найдите все варианты и докажите, что других нет.

Пусть Серёжа задумал натуральные числа $x$ и $y$. По условию задачи: 1. Сумма чисел равна 22: $$x + y = 22$$ 2. Разность чисел по модулю больше или равна 10, но меньше 14: $$10 \le |x - y| < 14$$ Так как $x$ и $y$ — натуральные числа, они должны быть больше или равны 1. То есть $x \ge 1$ и $y \ge 1$. Без потери общности, будем считать, что $x \ge y$. Тогда $|x - y| = x - y$. Система неравенств примет вид: $$ \begin{cases} x + y = 22 \\ 10 \le x - y < 14 \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $x$: $x = 22 - y$. Подставим это во второе неравенство: $$10 \le (22 - y) - y < 14$$ $$10 \le 22 - 2y < 14$$ Разделим это на два отдельных неравенства: 1. $10 \le 22 - 2y$ $2y \le 22 - 10$ $2y \le 12$ $y \le 6$ 2. $22 - 2y < 14$ $22 - 14 < 2y$ $8 < 2y$ $y > 4$ Итак, для $y$ получаем неравенство: $4 < y \le 6$. Поскольку $y$ — натуральное число, возможные значения для $y$ это 5 и 6. Теперь найдём соответствующие значения $x$: Если $y = 5$: $x = 22 - 5 = 17$ Проверим условия: $x+y = 17+5 = 22$. $|x-y| = |17-5| = 12$. $10 \le 12 < 14$. Это подходит. Если $y = 6$: $x = 22 - 6 = 16$ Проверим условия: $x+y = 16+6 = 22$. $|x-y| = |16-6| = 10$. $10 \le 10 < 14$. Это подходит. Если мы не делали допущение $x \ge y$, то возможны также пары $(5, 17)$ и $(6, 16)$, но так как числа задуманы без указания порядка, это те же самые варианты. Других вариантов нет, так как $y$ может принимать только значения 5 и 6. **Ответ: Серёжа мог задумать числа 17 и 5, или 16 и 6.**