Серёжа задумал два натуральных числа. Он забыл задуманные числа, но точно помнит, что их сумма равна 22, а про разность абсолютно уверен, что она меньше 14, но больше 10. Какие два числа задумал Серёжа? Найдите все варианты и докажите, что других нет.

**Ответ: 17 и 5; 16 и 6.** **Решение:** Пусть $a$ и $b$ — задуманные натуральные числа ($a > b$). По условию задачи: 1. Сумма чисел: $a + b = 22$ 2. Разность чисел: $10 < a - b < 14$ Так как разность строго больше 10 и строго меньше 14, она может принимать только два целых значения: **11** или **12**, или **13**. Заметим важную особенность: сумма ($a+b$) и разность ($a-b$) двух целых чисел всегда имеют одинаковую четность. Поскольку сумма $22$ — чётное число, то и разность $(a-b)$ обязана быть **чётным** числом. Из возможных вариантов разности (11, 12, 13) чётным является только **12**. Проверим все варианты разности системно: 1. Если разность равна **11** (нечетная): $\begin{cases} a + b = 22 \\ a - b = 11 \end{cases}$ Сложим уравнения: $2a = 33 \Rightarrow a = 16,5$. Число не натуральное, не подходит. 2. Если разность равна **12** (четная): $\begin{cases} a + b = 22 \\ a - b = 12 \end{cases}$ Сложим уравнения: $2a = 34 \Rightarrow a = 17$ Найдем $b$: $17 + b = 22 \Rightarrow b = 5$ **Пара (17, 5) подходит.** 3. Если разность равна **13** (нечетная): $\begin{cases} a + b = 22 \\ a - b = 13 \end{cases}$ Сложим уравнения: $2a = 35 \Rightarrow a = 17,5$. Не подходит. **Допущение:** Если под «разностью» понимается не только модуль разности $a-b$, а просто любое из условий, при котором числа натуральные и разность в интервале, проверим соседние значения. Если допустить, что разность может быть не только чётной (вдруг одно число не натуральное, но в сумме дают 22 — но условие требует натуральных), то только целая разность 12 дает натуральные $a$ и $b$. Однако, переберем пары чисел с суммой 22 и их разности: - $16$ и $6$: $16 + 6 = 22$, разность $16 - 6 = 10$. (Не подходит, так как разность **больше** 10). - $17$ и $5$: $17 + 5 = 22$, разность $17 - 5 = 12$. (Подходит: $10 < 12 < 14$). - $18$ и $4$: $18 + 4 = 22$, разность $18 - 4 = 14$. (Не подходит, так как разность **меньше** 14). **Вывод:** Единственная пара натуральных чисел, удовлетворяющая всем условиям — 17 и 5.