1. Используя график, записать область определения функции y = f(x) для варианта II.

1. Пользуясь графиком, запиши: a) Область определения функции $y = f(x)$: по графику видно, что функция определена для всех $x$ от $-4$ до $4$. **Ответ: $D(f) = [-4; 4]$** б) Область значений функции $y = f(x)$: по графику видно, что значения функции $y$ изменяются от $-2$ до $2$. **Ответ: $E(f) = [-2; 2]$** в) Нули функции $y = f(x)$: это точки, где график пересекает ось $Ox$, то есть $y=0$. **Ответ: $x = -3, x = 0, x = 3$** г) Промежутки возрастания и убывания функции $y = f(x)$: - Функция возрастает, когда график идет вверх. Это происходит на промежутках от $-2$ до $1$ и от $1.5$ до $4$. - Функция убывает, когда график идет вниз. Это происходит на промежутках от $-4$ до $-2$ и от $1$ до $1.5$. **Ответ: Возрастает на $[-2; 1]$ и $[1.5; 4]$. Убывает на $[-4; -2]$ и $[1; 1.5]$** д) Промежутки, на которых функция $y = f(x)$ принимает положительные значения, отрицательные значения: - Положительные значения (график выше оси $Ox$) на промежутках от $-3$ до $0$ и от $0$ до $3$. - Отрицательные значения (график ниже оси $Ox$) на промежутках от $-4$ до $-3$ и от $3$ до $4$. **Ответ: Положительные значения на $(-3; 0) \cup (0; 3)$. Отрицательные значения на $(-4; -3) \cup (3; 4)$** 2. Найти нули функции: $f(x) = 2x^3 - x^2 - 6x$ Приравняем функцию к нулю, чтобы найти нули: $2x^3 - x^2 - 6x = 0$ Вынесем $x$ за скобки: $x(2x^2 - x - 6) = 0$ Одно решение: $x_1 = 0$ Теперь решим квадратное уравнение $2x^2 - x - 6 = 0$ Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49$ $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ $x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 7}{4} = \frac{8}{4} = 2$ $x_3 = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 7}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5$ **Ответ: Нули функции: $x = 0, x = 2, x = -1.5$** 3. Не выполняя построения, найти координаты точек пересечения графиков функций: $f(x) = 2x + 2$ $f(x) = 2x^2 + 5x - 7$ Чтобы найти точки пересечения, нужно приравнять выражения для $f(x)$: $2x + 2 = 2x^2 + 5x - 7$ Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $0 = 2x^2 + 5x - 2x - 7 - 2$ $0 = 2x^2 + 3x - 9$ Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 9 + 72 = 81$ $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ $x_1 = \frac{-3 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 9}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$ $x_2 = \frac{-3 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 9}{4} = \frac{-12}{4} = -3$ Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$, подставив их в первое уравнение ($f(x) = 2x + 2$): Для $x_1 = 1.5$: $y_1 = 2(1.5) + 2 = 3 + 2 = 5$ Точка пересечения: $(1.5; 5)$ Для $x_2 = -3$: $y_2 = 2(-3) + 2 = -6 + 2 = -4$ Точка пересечения: $(-3; -4)$ **Ответ: Точки пересечения: $(1.5; 5)$ и $(-3; -4)$**