Диагонали четырехугольника ABCD равны и точкой О делятся пополам. Равны ли векторы OA и OC?

**1. Диагонали четырехугольника ABCD равны и точкой О делятся пополам. Равны ли векторы:** а) $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$; $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$ равны по длине, но противоположно направлены, поэтому они не равны. б) $\vec{OB}$ и $\vec{DO}$; $\vec{OB}$ и $\vec{DO}$ равны по длине и сонаправлены (так как O — середина DB), поэтому они равны. в) $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$; Четырехугольник, у которого диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам, является прямоугольником (частный случай параллелограмма). В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, поэтому $\vec{AB} = \vec{DC}$. г) $\vec{CB}$ и $\vec{AD}$? $\vec{CB}$ и $\vec{AD}$ равны по длине, но противоположно направлены, поэтому они не равны. **2. В равнобедренном треугольнике ABC точка $B_1$ – середина основания AC. AB = 10 см, $BB_1$ = 8 см.** а) Упростите выражение $\vec{B_1 B} - \vec{AB} - \vec{B_1 C}$. $\vec{B_1 B} - \vec{AB} - \vec{B_1 C} = \vec{B_1 B} + \vec{BA} + \vec{CB_1}$ Поскольку $B_1$ – середина AC, то $\vec{B_1 A} = -\vec{B_1 C}$. $\vec{B_1 B} + \vec{BA} + \vec{CB_1} = \vec{B_1 B} + \vec{BA} - \vec{B_1 C} = \vec{B_1 B} + \vec{BA} + \vec{B_1 A}$ (если идти по часовой стрелке от $B_1$ до $A$) Используем правило треугольника: $\vec{BA} + \vec{AB_1} = \vec{BB_1}$. Тогда $\vec{B_1 B} - \vec{AB} - \vec{B_1 C} = \vec{B_1 B} + (\vec{BA} + \vec{AC}) = \vec{B_1 B} + \vec{BC}$. Либо так: $\vec{B_1 B} - \vec{AB} - \vec{B_1 C} = \vec{B_1 B} + \vec{BA} + \vec{CB_1}$. Так как $B_1$ — середина $AC$, то $\vec{CB_1} = \vec{B_1 A}$. Тогда $\vec{B_1 B} + \vec{BA} + \vec{B_1 A} = \vec{B_1 B} + \vec{B_1 A} + \vec{BA} = (\vec{B_1 B} + \vec{B_1 A}) + \vec{BA}$. Это не приводит к простому выражению. Давай попробуем по-другому. Используем, что $\vec{AB} = -\vec{BA}$. $\vec{B_1 B} - \vec{AB} - \vec{B_1 C} = \vec{B_1 B} + \vec{BA} + \vec{CB_1}$ Поскольку $B_1$ — середина основания $AC$ в равнобедренном треугольнике $ABC$, то $BB_1$ — высота, медиана и биссектриса. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CB}$ равны по длине. $\vec{B_1 B} + \vec{BA} + \vec{CB_1} = \vec{B_1 B} + \vec{B_1 A} + \vec{BA}$ (так как $\vec{CB_1} = \vec{B_1 A}$) $= (\vec{B_1 B} + \vec{B_1 A}) + \vec{BA}$ Это все равно не упрощается. Скорее всего, здесь ошибка в условии или я неверно понял упрощение. Если воспользоваться правилом вычитания векторов: $\vec{XY} - \vec{ZY} = \vec{XZ}$. $\vec{B_1 B} - \vec{B_1 C} - \vec{AB} = \vec{CB} - \vec{AB} = \vec{CB} + \vec{BA} = \vec{CA}$. **Ответ: $\vec{CA}$** б) Найдите $|"vec{BB_1} - \vec{AB} - \vec{B_1 C}|$, если AB = 10 см, $BB_1$ = 8 см. Мы упростили выражение до $\vec{CA}$. Теперь нужно найти длину вектора $\vec{CA}$. В равнобедренном треугольнике $ABC$, $B_1$ — середина $AC$, $BB_1$ — высота. Значит, треугольник $ABB_1$ прямоугольный. По теореме Пифагора: $AB^2 = BB_1^2 + AB_1^2$ $10^2 = 8^2 + AB_1^2$ $100 = 64 + AB_1^2$ $AB_1^2 = 100 - 64 = 36$ $AB_1 = 6$ см Так как $B_1$ — середина $AC$, то $AC = 2 \cdot AB_1 = 2 \cdot 6 = 12$ см. Длина вектора $\vec{CA}$ равна длине отрезка $AC$. **Ответ: 12 см** **3. Начертите вектор $\vec{x}$ такой, что $|"vec{x}| = 2$ см. Постройте векторы $3\vec{x}$; $-2\vec{x}$; $1/2\vec{x}$.** :::div .chart-container @chart-1::: **4. В параллелограмме ABCD на стороне ВС взята точка Р так, что BP : PC = 3 : 1, O - точка пересечения диагоналей. Выразите векторы $\vec{AO}$ и $\vec{PA}$ через векторы $\vec{x} = \vec{AB}$, $\vec{y} = \vec{AD}$.** В параллелограмме $ABCD$: $\vec{AB} = \vec{x}$, $\vec{AD} = \vec{y}$. Следовательно, $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{y}$, $\vec{DC} = \vec{AB} = \vec{x}$. $\vec{AO}$: O - точка пересечения диагоналей. В параллелограмме диагонали делятся пополам. Значит, $\vec{AO} = \frac{1}{2}\vec{AC}$. Вектор $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{x} + \vec{y}$. Таким образом, $\vec{AO} = \frac{1}{2}(\vec{x} + \vec{y})$. $\vec{PA}$: Точка Р на стороне ВС, $BP : PC = 3 : 1$. Это значит, что $BP = \frac{3}{4}BC$ и $PC = \frac{1}{4}BC$. Вектор $\vec{PA} = \vec{PC} + \vec{CA}$ (неудобно). Лучше: $\vec{PA} = \vec{BA} + \vec{BP}$ (через точку В). $\vec{BA} = -\vec{AB} = -\vec{x}$. $\vec{BP} = \frac{3}{4}\vec{BC} = \frac{3}{4}\vec{y}$. Тогда $\vec{PA} = -\vec{x} + \frac{3}{4}\vec{y}$. **Ответ:** $\vec{AO} = \frac{1}{2}(\vec{x} + \vec{y})$ $\vec{PA} = -\vec{x} + \frac{3}{4}\vec{y}$ **5. На стороне ВС прямоугольника ABCD отмечена точка K так, что ВК : КС = 3:4. Выразите векторы $\vec{AK}$, $\vec{DK}$ через векторы $\vec{a} = \vec{AB}$, $\vec{b} = \vec{AD}$.** В прямоугольнике $ABCD$: $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AD} = \vec{b}$. Значит, $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$, $\vec{DC} = \vec{AB} = \vec{a}$. Точка K на стороне ВС, $BK : KC = 3 : 4$. Это значит, что $BK = \frac{3}{7}BC$ и $KC = \frac{4}{7}BC$. Выразим $\vec{AK}$: $\vec{AK} = \vec{AB} + \vec{BK}$. $\vec{BK} = \frac{3}{7}\vec{BC} = \frac{3}{7}\vec{b}$. Тогда $\vec{AK} = \vec{a} + \frac{3}{7}\vec{b}$. Выразим $\vec{DK}$: $\vec{DK} = \vec{DC} + \vec{CK}$ (или $\vec{DA} + \vec{AK}$). Используем $\vec{DK} = \vec{DC} + \vec{CK}$. $\vec{DC} = \vec{a}$. $\vec{CK} = -\vec{KC} = -\frac{4}{7}\vec{BC} = -\frac{4}{7}\vec{b}$. Тогда $\vec{DK} = \vec{a} - \frac{4}{7}\vec{b}$. Или через $\vec{DA} + \vec{AK}$: $\vec{DK} = \vec{DA} + \vec{AK}$. $\vec{DA} = -\vec{AD} = -\vec{b}$. $\vec{AK} = \vec{a} + \frac{3}{7}\vec{b}$. Тогда $\vec{DK} = -\vec{b} + \vec{a} + \frac{3}{7}\vec{b} = \vec{a} - \frac{4}{7}\vec{b}$. **Ответ:** $\vec{AK} = \vec{a} + \frac{3}{7}\vec{b}$ $\vec{DK} = \vec{a} - \frac{4}{7}\vec{b}$ **6. Дан треугольник ABC. Постройте вектор:** $-3/2 \cdot (\vec{AB} + \vec{BC} - \frac{1}{2}\vec{AC})$. Сначала упростим выражение в скобках: $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ (по правилу треугольника). Тогда выражение становится: $\vec{AC} - \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}\vec{AC}$. Теперь умножим на $-3/2$: $-3/2 \cdot (\frac{1}{2}\vec{AC}) = -\frac{3}{4}\vec{AC}$. Для построения вектора $-3/4 \vec{AC}$: нужно построить вектор, который направлен противоположно $\vec{AC}$ и имеет длину $3/4$ от длины $\vec{AC}$. :::div .chart-container @chart-2::: **7. Даны векторы $\vec{x}\{6; 3\}$ и $\vec{y}\{-2; 1\}$. Найдите координаты векторов:** а) $\vec{a} = 1/3 \cdot \vec{x}$ Чтобы найти координаты вектора $\vec{a}$, нужно умножить каждую координату вектора $\vec{x}$ на скаляр $1/3$. $\vec{a}_x = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2$ $\vec{a}_y = \frac{1}{3} \cdot 3 = 1$ **Ответ: $\vec{a}\{2; 1\}$** б) $\vec{b} = -\vec{y}$ Чтобы найти координаты вектора $\vec{b}$, нужно умножить каждую координату вектора $\vec{y}$ на скаляр $-1$. $\vec{b}_x = -1 \cdot (-2) = 2$ $\vec{b}_y = -1 \cdot 1 = -1$ **Ответ: $\vec{b}\{2; -1\}$** в) $\vec{c} = \vec{x} + 2\vec{y}$ Сначала найдем координаты вектора $2\vec{y}$: $(2 \cdot (-2); 2 \cdot 1) = (-4; 2)$. Теперь сложим координаты векторов $\vec{x}$ и $2\vec{y}$: $\vec{c}_x = 6 + (-4) = 2$ $\vec{c}_y = 3 + 2 = 5$ **Ответ: $\vec{c}\{2; 5\}$** г) $\vec{d} = 2\vec{x} - 3\vec{y}$ Сначала найдем координаты вектора $2\vec{x}$: $(2 \cdot 6; 2 \cdot 3) = (12; 6)$. Теперь найдем координаты вектора $3\vec{y}$: $(3 \cdot (-2); 3 \cdot 1) = (-6; 3)$. Теперь вычтем координаты $3\vec{y}$ из $2\vec{x}$: $\vec{d}_x = 12 - (-6) = 12 + 6 = 18$ $\vec{d}_y = 6 - 3 = 3$ **Ответ: $\vec{d}\{18; 3\}$**