Построить векторы $\vec{a} + \vec{b}$, $\vec{a} - \vec{b}$, $2\vec{a} + \vec{b}$, $\frac{1}{2}\vec{b} - 3\vec{a}$

**Допущение:** Решение представлено для первого варианта каждого задания, где есть выбор. Для задания 6 строится четырёхугольник, но площадь не вычисляется, так как не указано, что нужно её найти. ### Задание 1. Построить векторы На первом рисунке векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ даны. Чтобы построить сумму векторов $\vec{a} + \vec{b}$, нужно отложить вектор $\vec{b}$ от конца вектора $\vec{a}$. Тогда вектор, идущий от начала $\vec{a}$ к концу $\vec{b}$, будет суммой. Для вычитания векторов $\vec{a} - \vec{b}$ можно представить это как $\vec{a} + (-\vec{b})$. Вектор $-\vec{b}$ имеет ту же длину, что и $\vec{b}$, но направлен в противоположную сторону. Вектор $2\vec{a}$ имеет ту же направление, что и $\vec{a}$, но его длина в два раза больше. Вектор $\frac{1}{2}\vec{b} - 3\vec{a}$ строится аналогично, сначала строим векторы $\frac{1}{2}\vec{b}$ и $-3\vec{a}$, а затем их складываем. :::div .chart-container @chart-1::: ### Задание 2. Найти координаты вектора Даны векторы $\vec{a} = \{2; -3\}$ и $\vec{b} = \{-4; 8\}$. 1. **Сумма векторов $\vec{a} + \vec{b}$** Чтобы сложить векторы, нужно сложить их соответствующие координаты: $$\vec{a} + \vec{b} = \{2 + (-4); -3 + 8\} = \{-2; 5\}$$ **Ответ: $\vec{a} + \vec{b} = \{-2; 5\}$** 2. **Разность векторов $\vec{a} - \vec{b}$** Чтобы вычесть векторы, нужно вычесть их соответствующие координаты: $$\vec{a} - \vec{b} = \{2 - (-4); -3 - 8\} = \{2 + 4; -11\} = \{6; -11\}$$ **Ответ: $\vec{a} - \vec{b} = \{6; -11\}$** 3. **Вектор $2\vec{a} - 3\vec{b}$** Сначала умножим каждый вектор на скаляр: $$2\vec{a} = 2 \cdot \{2; -3\} = \{4; -6\}$$ $$3\vec{b} = 3 \cdot \{-4; 8\} = \{-12; 24\}$$ Теперь вычтем полученные векторы: $$2\vec{a} - 3\vec{b} = \{4 - (-12); -6 - 24\} = \{4 + 12; -30\} = \{16; -30\}$$ **Ответ: $2\vec{a} - 3\vec{b} = \{16; -30\}$** 4. **Вектор $\frac{1}{2}\vec{a}\vec{b}$** Это, скорее всего, опечатка и имелось в виду $\frac{1}{2}\vec{a} - \vec{b}$ или $\frac{1}{2}(\vec{a} \cdot \vec{b})$. Предположим, что нужно найти $\frac{1}{2}\vec{a}$ и потом $\vec{b} - 4\vec{a}$. **Допущение: задание $\frac{1}{2}\vec{a}\vec{b}$ неполное, я его пропущу.** 5. **Вектор $\vec{b} - 4\vec{a}$** Сначала умножим вектор $\vec{a}$ на скаляр 4: $$4\vec{a} = 4 \cdot \{2; -3\} = \{8; -12\}$$ Теперь вычтем из $\vec{b}$ полученный вектор: $$\vec{b} - 4\vec{a} = \{-4 - 8; 8 - (-12)\} = \{-12; 8 + 12\} = \{-12; 20\}$$ **Ответ: $\vec{b} - 4\vec{a} = \{-12; 20\}$** ### Задание 3. Найти середину отрезка AB Даны точки $A(-4; -12)$ и $B(8; 13)$. Координаты середины отрезка $M(x_m; y_m)$ находятся по формулам: $$x_m = \frac{x_A + x_B}{2}$$ $$y_m = \frac{y_A + y_B}{2}$$ Подставим значения: $$x_m = \frac{-4 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ $$y_m = \frac{-12 + 13}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$$ **Ответ: Середина отрезка $M(2; 0.5)$** ### Задание 4. Найти длину вектора $\vec{a}$ Даны координаты вектора $\vec{a} = \{5; 12\}$. Длина вектора $\|\vec{a}\|$ вычисляется по формуле: $$\|\vec{a}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$$ Подставим значения: $$\|\vec{a}\| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$ **Ответ: Длина вектора $\|\vec{a}\| = 13$** ### Задание 5. Найти расстояние между точками A и B Даны точки $A(2; 7)$ и $B(-2; 7)$. Расстояние между двумя точками $AB$ вычисляется по формуле: $$AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$ Подставим значения: $$AB = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (7 - 7)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$$ **Ответ: Расстояние между точками $AB = 4$** ### Задание 6. Построить 4-х угольник ABCD Даны координаты вершин $A(-3; -1)$, $B(1; -1)$, $C(1; -3)$, $D(-3; -3)$. Построим эти точки на координатной плоскости и соединим их последовательно. :::div .chart-container @chart-2::: Мы видим, что это прямоугольник.