Решите неравенство: а) $(x + 1)(x - 1)(2x - 5) < 0$

Реши неравенство: a) $(x + 1)(x - 1)(2x - 5) < 0$ Находим корни множителей, приравнивая их к нулю: $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$ $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$ $2x - 5 = 0 \Rightarrow 2x = 5 \Rightarrow x = 2,5$ Отмечаем корни на числовой прямой и определяем знаки на интервалах. Так как неравенство строгое (<), точки будут выколотыми. Коэффициенты при $x$ во всех множителях положительные, поэтому справа налево знаки будут чередоваться: +, -, +, -. Нам нужны интервалы, где выражение меньше 0 (отрицательно): $$x \in (-\infty; -1) \cup (1; 2,5)$$ **Ответ: $(-\infty; -1) \cup (1; 2,5)$** б) $(x + 4)(3x - 9) \le 0$ Преобразуем неравенство, вынеся 3 из второго множителя: $3(x + 4)(x - 3) \le 0$ Разделим обе части неравенства на 3: $(x + 4)(x - 3) \le 0$ Находим корни множителей: $x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$ $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$ Отмечаем корни на числовой прямой и определяем знаки на интервалах. Неравенство нестрогое (\le), поэтому точки будут закрашенными. Коэффициенты при $x$ во всех множителях положительные. Знаки справа налево: +, -, +. Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно 0 (отрицательно или равно 0): $$x \in [-4; 3]$$ **Ответ: $[-4; 3]$** в) $x(2x - 3)(x + 5) > 0$ Находим корни множителей: $x = 0$ $2x - 3 = 0 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = 1,5$ $x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5$ Располагаем корни в порядке возрастания: -5, 0, 1.5. Отмечаем корни на числовой прямой. Так как неравенство строгое (>), точки будут выколотыми. Коэффициенты при $x$ во всех множителях положительные. Знаки справа налево: +, -, +, -. Нам нужны интервалы, где выражение больше 0 (положительно): $$x \in (-5; 0) \cup (1,5; +\infty)$$ **Ответ: $(-5; 0) \cup (1,5; +\infty)$** г) $(x - 3)(3x - 2)(x + 2) \ge 0$ Преобразуем неравенство, вынеся 3 из второго множителя: $3(x - 3)(x - \frac{2}{3})(x + 2) \ge 0$ Разделим обе части неравенства на 3 (положительное число, знак неравенства не меняется): $(x - 3)(x - \frac{2}{3})(x + 2) \ge 0$ Находим корни множителей: $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$ $x - \frac{2}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$ $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$ Располагаем корни в порядке возрастания: -2, $\frac{2}{3}$, 3. Отмечаем корни на числовой прямой. Неравенство нестрогое (\ge), поэтому точки будут закрашенными. Коэффициенты при $x$ во всех множителях положительные. Знаки справа налево: +, -, +, -. Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно 0 (положительно или равно 0): $$x \in [-2; \frac{2}{3}] \cup [3; +\infty)$$ **Ответ: $[-2; \frac{2}{3}] \cup [3; +\infty)$**