В треугольнике ABC AB = BC. На медиане BE отмечена точка M, а на сторонах AB и BC — точки P и K соответственно. Известно, что $\angle BPM = \angle BKM$, $BP = BK$, $\angle BMP = 102^\circ$. Чему равна величина угла BMK?

Давай разберёмся с этой задачей по геометрии. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC$) медиана $BE$ является также биссектрисой и высотой. Значит, $BE \perp AC$ и $\angle ABE = \angle CBE$. Рассмотрим треугольники $BPM$ и $BKM$. Нам дано: 1. $BP = BK$ 2. $\angle BPM = \angle BKM$ 3. $BM$ — общая сторона По первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними) эти треугольники равны, если углы $\angle PBM$ и $\angle KBM$ равны, или по второму признаку (сторона и два прилежащих угла) если $\angle BPM = \angle BKM$ и $\angle PBM = \angle KBM$. Однако, из условия $\angle BPM = \angle BKM$, $BP = BK$ и $BM$ — общая сторона, можно сделать вывод, что треугольники $BPM$ и $BKM$ равны по признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу, лежащему против большей из них (если $\angle BPM$ и $\angle BKM$ не прилежащие к $BP$ и $BK$ углы). Поскольку $BP=BK$ и $BM$ — общая сторона, а также углы $\angle BPM = \angle BKM$ лежат напротив стороны $BM$, это не стандартный признак равенства. Но если эти треугольники равны, то все их соответствующие элементы равны. Предположим, что $\triangle BPM \cong \triangle BKM$. Тогда соответствующие углы и стороны равны. Из условия $\angle BPM = \angle BKM$ и $BP = BK$, а также $BM$ — общая сторона, следует, что $\triangle BPM$ и $\triangle BKM$ конгруэнтны по признаку СУУ (сторона, угол, угол), если $\angle PBM = \angle KBM$. Но есть более простой подход. Если $BP=BK$, то $\triangle PBK$ — равнобедренный. По условию, $\angle BPM = \angle BKM$ и $BP = BK$. Также известно, что $\angle BMP = 102^\circ$. Если $\triangle BPM \cong \triangle BKM$, то $\angle BMP = \angle BMK$. Из условия следует, что $\angle BMP = 102^\circ$. Значит, $\angle BMK = 102^\circ$. **Ответ: 102°**