Решить уравнения:
1) $2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$
Пусть $t = \cos x$. Тогда уравнение примет вид:
$$2t^2 - t - 1 = 0$$
Найдём дискриминант:
$$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$$
Найдём корни $t_1$ и $t_2$:
$$t_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$$
$$t_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$
Теперь вернёмся к замене:
а) $\cos x = 1$
$$x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$
б) $\cos x = -\frac{1}{2}$
$$x = \pm \left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$
$$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$
**Ответ:** $x = 2\pi n$, $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
2) $5\sin^2 x + 6\cos x - 6 = 0$
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$:
$$5(1 - \cos^2 x) + 6\cos x - 6 = 0$$
$$5 - 5\cos^2 x + 6\cos x - 6 = 0$$
$$-5\cos^2 x + 6\cos x - 1 = 0$$
Умножим на -1:
$$5\cos^2 x - 6\cos x + 1 = 0$$
Пусть $t = \cos x$. Тогда уравнение примет вид:
$$5t^2 - 6t + 1 = 0$$
Найдём дискриминант:
$$D = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16$$
Найдём корни $t_1$ и $t_2$:
$$t_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{6 + 4}{10} = \frac{10}{10} = 1$$
$$t_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{6 - 4}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$$
Теперь вернёмся к замене:
а) $\cos x = 1$
$$x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$
б) $\cos x = \frac{1}{5}$
$$x = \pm \arccos\left(\frac{1}{5}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$
**Ответ:** $x = 2\pi n$, $x = \pm \arccos\left(\frac{1}{5}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
3) $\sin x + \sqrt{3} \cos x = 0$
Разделим обе части уравнения на $\cos x$, предполагая, что $\cos x \neq 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin x = 0$, что невозможно, так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.
$$\frac{\sin x}{\cos x} + \sqrt{3} \frac{\cos x}{\cos x} = 0$$
$$\operatorname{tg} x + \sqrt{3} = 0$$
$$\operatorname{tg} x = -\sqrt{3}$$
$$x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$
**Ответ:** $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
4) $\cos\left(x + \frac{3\pi}{5}\right) = -1$
Общее решение для $\cos A = -1$ это $A = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Значит, $x + \frac{3\pi}{5} = \pi + 2\pi n$
$$x = \pi - \frac{3\pi}{5} + 2\pi n$$
$$x = \frac{5\pi - 3\pi}{5} + 2\pi n$$
$$x = \frac{2\pi}{5} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$
**Ответ:** $x = \frac{2\pi}{5} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
5) $2\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = 1$
Разделим обе части на 2:
$$\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$$
Общее решение для $\sin A = \frac{1}{2}$ это $A = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Значит, $\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$
Вычтем $\frac{\pi}{3}$ из обеих частей:
$$\frac{x}{2} = (-1)^k \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \pi k$$
Умножим обе части на 2:
$$x = 2 \cdot (-1)^k \frac{\pi}{6} - 2 \cdot \frac{\pi}{3} + 2 \pi k$$
$$x = (-1)^k \frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} + 2 \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$
**Ответ:** $x = (-1)^k \frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} + 2 \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$
6) $9 \sin x \cdot \cos x - 7 \cos^2 x = 2 \sin^2 x$
Перенесём $2 \sin^2 x$ в левую часть:
$$9 \sin x \cdot \cos x - 7 \cos^2 x - 2 \sin^2 x = 0$$
Это однородное тригонометрическое уравнение. Разделим обе части на $\cos^2 x$, предполагая, что $\cos x \neq 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin x = 0$, что невозможно.
$$\frac{9 \sin x \cdot \cos x}{\cos^2 x} - \frac{7 \cos^2 x}{\cos^2 x} - \frac{2 \sin^2 x}{\cos^2 x} = 0$$
$$9 \frac{\sin x}{\cos x} - 7 - 2 \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^2 = 0$$
$$9 \operatorname{tg} x - 7 - 2 \operatorname{tg}^2 x = 0$$
Упорядочим уравнение:
$$-2 \operatorname{tg}^2 x + 9 \operatorname{tg} x - 7 = 0$$
Умножим на -1:
$$2 \operatorname{tg}^2 x - 9 \operatorname{tg} x + 7 = 0$$
Пусть $t = \operatorname{tg} x$. Тогда уравнение примет вид:
$$2t^2 - 9t + 7 = 0$$
Найдём дискриминант:
$$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 81 - 56 = 25$$
Найдём корни $t_1$ и $t_2$:
$$t_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 5}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} = 3.5$$
$$t_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$$
Теперь вернёмся к замене:
а) $\operatorname{tg} x = 1$
$$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$
б) $\operatorname{tg} x = 3.5$
$$x = \operatorname{arctg}(3.5) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$
**Ответ:** $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $x = \operatorname{arctg}(3.5) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
