На стороне AC как на основании построены по одну сторону два равнобедренных треугольника ABC и AMC. Докажите, что прямая BM пересекает сторону AC в её середине.

На стороне $AC$ как на основании построены по одну сторону два равнобедренных треугольника $ABC$ и $AMC$. Докажите, что прямая $BM$ пересекает сторону $AC$ в её середине. Дано: * Треугольник $ABC$ — равнобедренный ($AB = BC$) * Треугольник $AMC$ — равнобедренный ($AM = MC$) * Точки $B$ и $M$ находятся по одну сторону от $AC$. Доказать: Прямая $BM$ пересекает сторону $AC$ в её середине. **Доказательство:** 1. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, то медиана, проведённая к основанию, является также высотой и биссектрисой. Если провести медиану из вершины $B$ к $AC$, она будет делить $AC$ пополам. Обозначим эту точку как $K$. Тогда $BK$ — медиана, высота и биссектриса треугольника $ABC$. 2. Аналогично, так как треугольник $AMC$ равнобедренный с основанием $AC$, то медиана, проведённая из вершины $M$ к $AC$, будет делить $AC$ пополам. То есть $MK$ — медиана, высота и биссектриса треугольника $AMC$. 3. Из пунктов 1 и 2 следует, что $BK$ перпендикулярна $AC$ и $MK$ перпендикулярна $AC$. 4. Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой ($AC$) и проходят через одну и ту же точку ($K$), то эти две прямые лежат на одной прямой. То есть точки $B$, $K$, $M$ лежат на одной прямой. 5. Поскольку $K$ является серединой отрезка $AC$ (из определения медианы равнобедренного треугольника к основанию), а прямая $BM$ проходит через точку $K$, то прямая $BM$ пересекает сторону $AC$ в её середине. **Что и требовалось доказать.**