1. Даны точки H(-6; -7) и T(1;3). Найдите длину отрезка HT и координаты его середины.

1. Чтобы найти длину отрезка HT, используем формулу расстояния между двумя точками $$\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$$. Точки $H(-6; -7)$ и $T(1; 3)$. $$HT = \sqrt{(1 - (-6))^2 + (3 - (-7))^2} = \sqrt{(1+6)^2 + (3+7)^2} = \sqrt{7^2 + 10^2} = \sqrt{49 + 100} = \sqrt{149}$$ Чтобы найти координаты середины отрезка HT, используем формулу: $$\left(\frac{x_1+x_2}{2}; \frac{y_1+y_2}{2}\right)$$. $$M_{HT} = \left(\frac{-6+1}{2}; \frac{-7+3}{2}\right) = \left(\frac{-5}{2}; \frac{-4}{2}\right) = (-2.5; -2)$$ **Ответ: Длина отрезка HT = $\sqrt{149}$, координаты середины отрезка HT = $(-2.5; -2)$** 2. Уравнение окружности в общем виде: $$(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$$, где $(a; b)$ — центр окружности, $R$ — радиус. Центр окружности $P(8; -7)$, значит $a=8$ и $b=-7$. Уравнение окружности пока имеет вид $$(x-8)^2 + (y-(-7))^2 = R^2$$ или $$(x-8)^2 + (y+7)^2 = R^2$$. Точка $F(-5; 2)$ принадлежит окружности, поэтому её координаты можно подставить в уравнение для нахождения $R^2$: $$(-5-8)^2 + (2+7)^2 = R^2$$ $$(-13)^2 + (9)^2 = R^2$$ $$169 + 81 = R^2$$ $$250 = R^2$$ Таким образом, уравнение окружности: $$(x-8)^2 + (y+7)^2 = 250$$ **Ответ: $(x-8)^2 + (y+7)^2 = 250$** 3. В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. Это значит, что середина диагонали AC совпадает с серединой диагонали BD. Найдем середину диагонали AC, используя формулу: $$\left(\frac{x_1+x_2}{2}; \frac{y_1+y_2}{2}\right)$$. $A(-3; 2)$, $C(-1; -4)$. $$M_{AC} = \left(\frac{-3+(-1)}{2}; \frac{2+(-4)}{2}\right) = \left(\frac{-4}{2}; \frac{-2}{2}\right) = (-2; -1)$$ Пусть координаты вершины D будут $(x_D; y_D)$. Тогда середина диагонали BD будет: $$M_{BD} = \left(\frac{4+x_D}{2}; \frac{-3+y_D}{2}\right)$$ Так как $M_{AC} = M_{BD}$, приравниваем координаты: $$\frac{4+x_D}{2} = -2 \Rightarrow 4+x_D = -4 \Rightarrow x_D = -8$$ $$\frac{-3+y_D}{2} = -1 \Rightarrow -3+y_D = -2 \Rightarrow y_D = 1$$ **Ответ: Координаты вершины D = $(-8; 1)$** 4. Уравнение прямой, проходящей через две точки $M(x_1; y_1)$ и $N(x_2; y_2)$, можно найти по формуле: $$\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1}$$ Точки $M(8; 7.2)$ и $N(3; -8.3)$. $$\frac{x-8}{3-8} = \frac{y-7.2}{-8.3-7.2}$$ $$\frac{x-8}{-5} = \frac{y-7.2}{-15.5}$$ Перекрестное умножение: $$-15.5(x-8) = -5(y-7.2)$$ $$-15.5x + 124 = -5y + 36$$ $$5y = 15.5x + 36 - 124$$ $$5y = 15.5x - 88$$ $$y = \frac{15.5}{5}x - \frac{88}{5}$$ $$y = 3.1x - 17.6$$ **Ответ: $y = 3.1x - 17.6$** 5. Прямая, параллельная $y = 2.3x - 8.7$, имеет такой же угловой коэффициент, то есть $k = 2.3$. Уравнение искомой прямой будет иметь вид $y = 2.3x + b$. Нам нужно найти центр окружности $x^2 + y^2 - 6x - 10y - 15 = 0$. Для этого выделим полные квадраты: $$(x^2 - 6x) + (y^2 - 10y) - 15 = 0$$ $$(x^2 - 6x + 9) - 9 + (y^2 - 10y + 25) - 25 - 15 = 0$$ $$(x - 3)^2 + (y - 5)^2 - 49 = 0$$ $$(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 49$$ Центр этой окружности находится в точке $(3; 5)$. Теперь подставим координаты центра $(3; 5)$ в уравнение прямой $y = 2.3x + b$: $$5 = 2.3 \cdot 3 + b$$ $$5 = 6.9 + b$$ $$b = 5 - 6.9$$ $$b = -1.9$$ Таким образом, уравнение искомой прямой: $$y = 2.3x - 1.9$$ **Ответ: $y = 2.3x - 1.9$**