Найдите первообразную для функции: а) f(x) = 1/x² - 2sin x; б) f(x) = 1/x; в) f(x) = 10x⁴ + eˣ. Найдите ту первообразную F(x) для функции f(x) = 4x³ - 8x, график которой проходит через точку A(1; 3). Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x² и y = 4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x² - 6x + 7 и y = -x² + 4x - 1.

### I вариант **Задание 1. Найдите первообразную для функции:** а) $f(x) = \frac{1}{x^2} - 2\sin x = x^{-2} - 2\sin x$ $F(x) = \frac{x^{-1}}{-1} - 2(-\cos x) + C = -\frac{1}{x} + 2\cos x + C$ б) $f(x) = \frac{1}{x}, x > 0$ $F(x) = \ln x + C$ в) $f(x) = 10x^4 + e^x, x \in \mathbb{R}$ $F(x) = 10 \cdot \frac{x^5}{5} + e^x + C = 2x^5 + e^x + C$ --- **Задание 3. Найдите ту первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = 4x^3 - 8x$, график которой проходит через точку $A(1; 3)$:** 1. Найдём общий вид первообразной: $F(x) = \int (4x^3 - 8x) dx = 4 \cdot \frac{x^4}{4} - 8 \cdot \frac{x^2}{2} + C = x^4 - 4x^2 + C$ 2. Подставим координаты точки $A(1; 3)$, где $x=1, F(x)=3$: $3 = 1^4 - 4 \cdot 1^2 + C$ $3 = 1 - 4 + C$ $3 = -3 + C \Rightarrow C = 6$ **Ответ:** $F(x) = x^4 - 4x^2 + 6$ --- **Задание 4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^2$ и $y = 4$:** 1. Найдем точки пересечения: $x^2 = 4 \Rightarrow x_1 = -2, x_2 = 2$ 2. Вычислим площадь: $S = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) dx = (4x - \frac{x^3}{3}) \Big|_{-2}^{2} = (4 \cdot 2 - \frac{2^3}{3}) - (4 \cdot (-2) - \frac{(-2)^3}{3}) = (8 - \frac{8}{3}) - (-8 + \frac{8}{3}) = 8 - \frac{8}{3} + 8 - \frac{8}{3} = 16 - \frac{16}{3} = \frac{48 - 16}{3} = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3}$ **Ответ:** $10\frac{2}{3}$ --- **Задание 6. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^2 - 6x + 7$ и $y = -x^2 + 4x - 1$:** 1. Найдем точки пересечения: $x^2 - 6x + 7 = -x^2 + 4x - 1$ $2x^2 - 10x + 8 = 0 \quad | : 2$ $x^2 - 5x + 4 = 0$ По теореме Виета: $x_1 = 1, x_2 = 4$ 2. Определим верхнюю функцию на интервале $(1; 4)$. Возьмём $x=2$: $y_1 = 2^2 - 6\cdot2 + 7 = 4 - 12 + 7 = -1$ $y_2 = -2^2 + 4\cdot2 - 1 = -4 + 8 - 1 = 3$ Значит, $y = -x^2 + 4x - 1$ выше. 3. Вычислим площадь: $S = \int_{1}^{4} ((-x^2 + 4x - 1) - (x^2 - 6x + 7)) dx = \int_{1}^{4} (-2x^2 + 10x - 8) dx =$ $= (- \frac{2x^3}{3} + 5x^2 - 8x) \Big|_{1}^{4} = (- \frac{2 \cdot 64}{3} + 5 \cdot 16 - 8 \cdot 4) - (- \frac{2}{3} + 5 - 8) =$ $= (- \frac{128}{3} + 80 - 32) - (- \frac{2}{3} - 3) = - \frac{128}{3} + 48 + \frac{2}{3} + 3 = 51 - \frac{126}{3} = 51 - 42 = 9$ **Ответ:** $9$