Начертите прямоугольную систему координат Oxy и координатные векторы i и j. Постройте векторы с началом в точке O, заданные координатами: a) a{-2; 3}

1. Начертите прямоугольную систему координат $Oxy$ и координатные векторы $\vec{i}$ и $\vec{j}$. Постройте векторы с началом в точке $O$, заданные координатами: a) $\vec{a}\{-2; 3\}$ b) $\vec{b}\{4; -3\}$ c) $\vec{c}\{1; 6\}$ :::div .chart-container @chart-1::: 2. Даны векторы $\vec{a}\{3; -4\}$ и $\vec{b}\{-1; 5\}$. Найдите координаты следующих векторов: a) $\vec{a} + \vec{b}$ $$\vec{a} + \vec{b} = \{3 + (-1); -4 + 5\} = \{2; 1\}$$ **Ответ: $\{2; 1\}$** b) $\vec{a} - \vec{b}$ $$\vec{a} - \vec{b} = \{3 - (-1); -4 - 5\} = \{4; -9\}$$ **Ответ: $\{4; -9\}$** c) $-2\vec{a} + 4\vec{b}$ $$-2\vec{a} = -2\{3; -4\} = \{-6; 8\}$$ $$4\vec{b} = 4\{-1; 5\} = \{-4; 20\}$$ $$-2\vec{a} + 4\vec{b} = \{-6 + (-4); 8 + 20\} = \{-10; 28\}$$ **Ответ: $\{-10; 28\}$** 3. Даны точки $A(-3; -5)$ и $B(2; 7)$ — координаты начала и конца вектора $\vec{AB}$. Найдите: a) координаты вектора $\vec{AB}$; $$\vec{AB} = \{x_B - x_A; y_B - y_A\} = \{2 - (-3); 7 - (-5)\} = \{5; 12\}$$ **Ответ: $\{5; 12\}$** b) координаты середины отрезка $AB$; $$M\left(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}\right) = M\left(\frac{-3 + 2}{2}; \frac{-5 + 7}{2}\right) = M\left(-\frac{1}{2}; \frac{2}{2}\right) = M\left(-\frac{1}{2}; 1\right)$$ **Ответ: $M(-0.5; 1)$** в) длину вектора $\vec{AB}$. $$|\vec{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (7 - (-5))^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$ **Ответ: 13** 4. Вершины четырёхугольника $MNPQ$ имеют координаты: $M(0; -2)$, $N(-3; 2)$, $P(0; 2)$, $Q(3; -2)$. a) Найдите периметр четырёхугольника $MNPQ$; Найдем длины сторон: $$MN = \sqrt{(-3-0)^2 + (2-(-2))^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$$ $$NP = \sqrt{(0-(-3))^2 + (2-2)^2} = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3$$ $$PQ = \sqrt{(3-0)^2 + (-2-2)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$$ $$QM = \sqrt{(0-3)^2 + (-2-(-2))^2} = \sqrt{(-3)^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3$$ Периметр $P = MN + NP + PQ + QM = 5 + 3 + 5 + 3 = 16$. **Ответ: 16** b) Определите вид этого четырёхугольника. Так как $MN=PQ=5$ и $NP=QM=3$, а также $MN$ параллельно $PQ$ и $NP$ параллельно $QM$ (можно проверить по угловым коэффициентам или заметить, что $MN$ и $PQ$ имеют одинаковый наклон, а $NP$ и $QM$ горизонтальны), то это параллелограмм. Так как смежные стороны не равны ($MN \ne NP$) и углы не прямые (например, $NP$ лежит на прямой $y=2$, а $MN$ на наклонной), то это параллелограмм, но не прямоугольник и не ромб. Однако, $M(0,-2), N(-3,2), P(0,2), Q(3,-2)$. Диагональ $MP$ лежит на оси $y$. Длина $MP = |2 - (-2)| = 4$. Диагональ $NQ$ имеет середину: $(\frac{-3+3}{2}; \frac{2-2}{2}) = (0;0)$. Середина $MP$: $(\frac{0+0}{2}; \frac{-2+2}{2}) = (0;0)$. Диагонали пересекаются в середине, значит, это параллелограмм. Дополнительно, можно заметить, что $NP$ и $QM$ горизонтальны. $M$ и $P$ имеют одинаковую $x$-координату, $N$ и $Q$ имеют одинаковую $y$-координату. Это прямоугольник, потому что $MP$ и $NQ$ пересекаются в $O(0,0)$ и перпендикулярны. $MN = PQ = 5$, $NP = QM = 3$. Это прямоугольник, так как $M(0, -2)$, $N(-3, 2)$, $P(0, 2)$, $Q(3, -2)$. Если начертить, то видно, что это параллелограмм. $NP$ и $QM$ горизонтальны. $MN$ и $PQ$ имеют одинаковый наклон. Это прямоугольник, так как $M(0, -2)$, $P(0, 2)$ лежат на оси $y$. $N(-3, 2)$, $Q(3, -2)$. Длины сторон: $MN=5$, $NP=3$, $PQ=5$, $QM=3$. Это параллелограмм. Чтобы определить вид точнее: Вектор $\vec{MN} = \{-3; 4\}$. Вектор $\vec{NP} = \{3; 0\}$. Вектор $\vec{PQ} = \{3; -4\}$. Вектор $\vec{QM} = \{-3; 0\}$. $NP$ параллелен $QM$ (оба горизонтальны). $MN$ и $PQ$ не параллельны осям. Если это прямоугольник, то векторы $\vec{MN}$ и $\vec{NP}$ должны быть перпендикулярны, то есть их скалярное произведение должно быть равно нулю. $\vec{MN} \cdot \vec{NP} = (-3)(3) + (4)(0) = -9 \ne 0$. Значит, это не прямоугольник. Поскольку это параллелограмм с соседними сторонами разной длины, это **ромбоид** (или просто параллелограмм). **Ответ: Параллелограмм (ромбоид)** 5. Окружность задана уравнением: $(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 9$. Укажите координаты центра и радиус окружности. Уравнение окружности в общем виде: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a; b)$ — центр окружности, $R$ — радиус. Из уравнения $(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 9$ получаем: Центр $O(-1; 4)$. Радиус $R = \sqrt{9} = 3$. Не пользуясь чертежом, укажите какие из точек $A(2; 4)$, $B(-1; 5)$, $C(2; 0)$ лежат: Чтобы определить, где лежит точка относительно окружности, нужно подставить её координаты в левую часть уравнения $(x + 1)^2 + (y - 4)^2$. Если результат $< R^2$, то точка внутри круга. Если результат $= R^2$, то точка на окружности. Если результат $> R^2$, то точка вне круга. $R^2 = 9$. Для точки $A(2; 4)$: $(2 + 1)^2 + (4 - 4)^2 = 3^2 + 0^2 = 9$. Для точки $B(-1; 5)$: $(-1 + 1)^2 + (5 - 4)^2 = 0^2 + 1^2 = 1$. Для точки $C(2; 0)$: $(2 + 1)^2 + (0 - 4)^2 = 3^2 + (-4)^2 = 9 + 16 = 25$. a) внутри круга, ограниченного данной окружностью; Точка $B(-1; 5)$ (результат $1 < 9$). **Ответ: $B(-1; 5)$** b) на окружности; Точка $A(2; 4)$ (результат $9 = 9$). **Ответ: $A(2; 4)$** в) вне круга, ограниченного данной окружностью. Точка $C(2; 0)$ (результат $25 > 9$). **Ответ: $C(2; 0)$** 6. Даны координаты вершин треугольник $ABC$: $A(5; 4)$, $B(-1; 0)$, $C(-3; -8)$. Напишите уравнение прямой, содержащей медиану $BM$. Медиана $BM$ соединяет вершину $B$ с серединой стороны $AC$. Найдем координаты середины отрезка $AC$. Пусть это будет точка $K$. $$K\left(\frac{x_A + x_C}{2}; \frac{y_A + y_C}{2}\right) = K\left(\frac{5 + (-3)}{2}; \frac{4 + (-8)}{2}\right) = K\left(\frac{2}{2}; \frac{-4}{2}\right) = K(1; -2)$$ Теперь у нас есть две точки, через которые проходит прямая $BM$: $B(-1; 0)$ и $K(1; -2)$. Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, можно найти по формуле: $$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$$ Подставим координаты $B(-1; 0)$ и $K(1; -2)$: $$\frac{x - (-1)}{1 - (-1)} = \frac{y - 0}{-2 - 0}$$ $$\frac{x + 1}{2} = \frac{y}{-2}$$ $$-2(x + 1) = 2y$$ $$-2x - 2 = 2y$$ Разделим все на 2: $$-x - 1 = y$$ Или $y = -x - 1$. **Ответ: $y = -x - 1$** 7. В треугольнике $MCN$ высота $CD$, равная 12, делит сторону $MN$ на отрезки $MD=4$ и $DN=6$. Точка $F$ — середина стороны $MC$. Найдите длину $NF$. Допущение: Треугольник $MCN$ может быть произвольным, но так как дана высота $CD$, то точка $D$ лежит на прямой $MN$. Поскольку $MD=4$ и $DN=6$, точка $D$ лежит между $M$ и $N$. Треугольник $CDM$ — прямоугольный с гипотенузой $MC$. По теореме Пифагора для $\triangle CDM$: $MC^2 = CD^2 + MD^2 = 12^2 + 4^2 = 144 + 16 = 160$. $MC = \sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = 4\sqrt{10}$. Точка $F$ — середина стороны $MC$. Значит, $MF = FC = \frac{1}{2} MC = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{10} = 2\sqrt{10}$. Треугольник $CDN$ — прямоугольный с гипотенузой $CN$. По теореме Пифагора для $\triangle CDN$: $CN^2 = CD^2 + DN^2 = 12^2 + 6^2 = 144 + 36 = 180$. $CN = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$. Нам нужно найти длину отрезка $NF$. Точка $F$ — середина $MC$. В $\triangle MCN$ отрезок $NF$ является медианой, проведенной к стороне $MC$, если точка $F$ — середина $MC$. Да, так и есть. Для нахождения длины медианы в треугольнике можно использовать формулу медианы: $$m_c^2 = \frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}$$ В нашем случае, медиана $NF$ проведена к стороне $MC$. Длины сторон $\triangle MCN$ это $MN = MD + DN = 4 + 6 = 10$, $MC = 4\sqrt{10}$, $CN = 6\sqrt{5}$. Медиана $NF$ ($m_f$) проведена к стороне $MC$. Значит $a = CN = 6\sqrt{5}$, $b = MN = 10$, $c = MC = 4\sqrt{10}$. Обозначим $NF$ как $m_f$. $m_f^2 = \frac{2(CN^2) + 2(MN^2) - MC^2}{4}$ - это не та формула. Формула медианы: Медиана $m_a$ к стороне $a$: $m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$. Здесь медиана $NF$ проведена к стороне $MC$. Значит, $NF^2 = \frac{2MN^2 + 2CN^2 - MC^2}{4}$. Это неправильно. Формула медианы $m_c$ к стороне $c$ (то есть $NF$ к $MC$): $NF^2 = \frac{2(MN^2) + 2(CN^2) - (MC)^2}{4}$ - это для медианы, которая делит сторону $MN$ пополам. Правильная формула медианы $m_k$ к стороне $k$ (здесь $k=MC$): $NF^2 = \frac{2NM^2 + 2NC^2 - MC^2}{4}$ Нет, это если $N$ это вершина, а $F$ - середина $MC$. $NF$ - медиана из вершины $N$ к стороне $MC$. По формуле длины медианы: $m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$. Здесь $a = MC$, $b = MN$, $c = CN$. $NF^2 = \frac{2 MN^2 + 2 CN^2 - MC^2}{4}$ $MN = 10$, $CN = 6\sqrt{5}$, $MC = 4\sqrt{10}$. $NF^2 = \frac{2(10^2) + 2((6\sqrt{5})^2) - (4\sqrt{10})^2}{4}$ $NF^2 = \frac{2(100) + 2(36 \cdot 5) - (16 \cdot 10)}{4}$ $NF^2 = \frac{200 + 2(180) - 160}{4}$ $NF^2 = \frac{200 + 360 - 160}{4}$ $NF^2 = \frac{560 - 160}{4}$ $NF^2 = \frac{400}{4}$ $NF^2 = 100$ $NF = \sqrt{100} = 10$. **Ответ: 10**