Даны стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ равны соответственно 15 см и 20 см. Через точку $D$ биссектрисы $AD$ параллельно стороне $AB$ проведена прямая, которая пересекает сторону $AC$ в точке $E$. Найдите отрезки $EA$ и $EC$.

1. Используем свойство биссектрисы угла треугольника: биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. В треугольнике $ABC$ биссектриса $AD$ делит сторону $BC$ на отрезки $BD$ и $DC$ так, что: $$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$$ Подставляем известные значения $AB = 15$ см и $AC = 20$ см: $$\frac{BD}{DC} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$$ 2. Прямая, проходящая через точку $D$ параллельно стороне $AB$, пересекает сторону $AC$ в точке $E$. Это означает, что $DE \parallel AB$. 3. Так как $DE \parallel AB$, то по теореме Фалеса (или теореме о пропорциональных отрезках) для сторон $AC$ и $BC$ имеем: $$\frac{CE}{EA} = \frac{CD}{DB}$$ Из первого шага мы знаем, что $\frac{BD}{DC} = \frac{3}{4}$, значит, $\frac{CD}{DB} = \frac{4}{3}$. Тогда: $$\frac{CE}{EA} = \frac{4}{3}$$ 4. Также, поскольку $DE \parallel AB$, то треугольник $CDE$ подобен треугольнику $CAB$ по двум углам (угол $C$ общий, $\angle CDE = \angle CAB$ как соответственные углы при параллельных прямых $DE$ и $AB$ и секущей $AC$). 5. Из подобия треугольников $CDE$ и $CAB$ следует отношение сторон: $$\frac{CE}{CA} = \frac{CD}{CB} = \frac{DE}{AB}$$ Мы знаем, что $\frac{CD}{DB} = \frac{4}{3}$, что означает $CD = 4x$ и $DB = 3x$ для некоторого $x$. Тогда $CB = CD + DB = 4x + 3x = 7x$. Значит, $\frac{CD}{CB} = \frac{4x}{7x} = \frac{4}{7}$. 6. Теперь найдем $CE$ и $EA$. Мы знаем, что $AC = 20$ см. Из отношения $\frac{CE}{CA} = \frac{4}{7}$ получаем: $$CE = \frac{4}{7} \cdot CA = \frac{4}{7} \cdot 20 = \frac{80}{7} \approx 11.43$$ см 7. Теперь найдем $EA$: $$EA = AC - CE = 20 - \frac{80}{7} = \frac{140 - 80}{7} = \frac{60}{7} \approx 8.57$$ см 8. Чтобы найти $DE$, используем отношение из подобия треугольников: $$\frac{DE}{AB} = \frac{CD}{CB} = \frac{4}{7}$$ $$DE = \frac{4}{7} \cdot AB = \frac{4}{7} \cdot 15 = \frac{60}{7} \approx 8.57$$ см **Ответ:** $EA = \frac{60}{7}$ см $EC = \frac{80}{7}$ см