7. Найдите значение выражения (sqrt(7))^12 * 25^-3,5 / 5^-9 * 49^3

Давай разберем задания из твоего листа. Будем решать последовательно. ### 7. Найдите значение выражения $\frac{(\sqrt{7})^{12} \cdot 25^{-3,5}}{5^{-9} \cdot 49^3}$ 1. Числитель: $(\sqrt{7})^{12} = (7^{1/2})^{12} = 7^6$. Также $25^{-3,5} = (5^2)^{-3,5} = 5^{-7}$. Получаем $7^6 \cdot 5^{-7}$. 2. Знаменатель: $5^{-9} \cdot 49^3 = 5^{-9} \cdot (7^2)^3 = 5^{-9} \cdot 7^6$. 3. Сокращаем: $\frac{7^6 \cdot 5^{-7}}{5^{-9} \cdot 7^6} = \frac{5^{-7}}{5^{-9}} = 5^{-7 - (-9)} = 5^2 = 25$. **Ответ: Г) 25** ### 8. Найдите корень уравнения $5^{x-7} = \frac{1}{125}$ $5^{x-7} = 5^{-3}$ $x-7 = -3$ $x = 4$ **Ответ: Б) 4** ### 9. Найдите корень уравнения $\log_2(4-x) = 7$ $4-x = 2^7$ $4-x = 128$ $x = 4 - 128 = -124$ **Ответ: -124** ### 10. Количество точек минимума на отрезке $[-13; 1]$ График производной $f'(x)$ показывает точки минимума там, где функция $f(x)$ меняет убывание на возрастание. Это происходит, когда график $f'(x)$ пересекает ось $OX$ снизу вверх (переходит из минуса в плюс). Смотрим на график на отрезке от -13 до 1: точки смены знака с "-" на "+" находятся примерно в $x = -11$, $x = -7$ и $x = -2$. Всего 3 точки. **Ответ: 3** ### 11. Три другие тригонометрические функции, если $\cos \alpha = 1/4$ и $3\pi/2 < \alpha < 2\pi$ 1. $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (1/4)^2 = 1 - 1/16 = 15/16$. Так как $\alpha$ в IV четверти, $\sin \alpha = -\sqrt{15}/4$. 2. $\text{tg } \alpha = \sin \alpha / \cos \alpha = (-\sqrt{15}/4) / (1/4) = -\sqrt{15}$. 3. $\text{ctg } \alpha = 1 / \text{tg } \alpha = -1/\sqrt{15} = -\sqrt{15}/15$. ### 12. Решите уравнение $\sqrt{x^3 - 4x^2 - 10x + 29} = 3 - x$ Возведем обе части в квадрат (условие $3-x \ge 0 \Rightarrow x \le 3$): $x^3 - 4x^2 - 10x + 29 = 9 - 6x + x^2$ $x^3 - 5x^2 - 4x + 20 = 0$ $x^2(x - 5) - 4(x - 5) = 0$ $(x^2 - 4)(x - 5) = 0$ $x = 2, x = -2, x = 5$. Проверка условия $x \le 3$: подходит $2$ и $-2$. **Ответ: -2; 2** ### 13. Точки экстремума $y(x) = e^{x-3}(x-5)$ $y'(x) = e^{x-3}(x-5) + e^{x-3}(1) = e^{x-3}(x - 5 + 1) = e^{x-3}(x - 4)$. $y'(x) = 0 \Rightarrow x = 4$. Меняет знак с "-" на "+", это точка минимума. **Ответ: 4** ### 14. Система уравнений $ \begin{cases} 2^{x+4y} = 2^{-3} \Rightarrow x + 4y = -3 \\ \log_2(7x + 5y) = 1 \Rightarrow 7x + 5y = 2 \end{cases} $ Из первого: $x = -3 - 4y$. Подставим во второе: $7(-3 - 4y) + 5y = 2 \Rightarrow -21 - 28y + 5y = 2 \Rightarrow -23y = 23 \Rightarrow y = -1$. $x = -3 - 4(-1) = 1$. **Ответ: (1; -1)** ### 15. Сечение куба Задача требует построения. P - середина $A_1D_1$, Q делит $AB_1$ в отношении 2:1 от A. R - пересечение $BC_1$ и $B_1C$. Сечение будет пятиугольником. Площадь сечения куба с ребром 1 через эти точки вычисляется через проекции или развертку. Для куба с ребром 1 площадь такого сечения обычно равна $S = \frac{13\sqrt{2}}{24}$.