15.Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром длины 1. Точка P - середина A1D1, точка Q делит отрезок AB1 в отношении 2: 1, считая от вершины A, R - точка пересечения отрезков BC1 и B1C. Найдите площадь сечения куба плоскостью PQR. (3 балла).

Для решения задачи введем систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Тогда: * $A(0,0,0)$; * $A_1(0,0,1)$; * $D_1(0,1,1)$; * $B_1(1,0,1)$; * $C_1(1,1,1)$; * $B(1,0,0)$; * $C(1,1,0)$. 1. **Координаты точек:** * $P$ — середина $A_1D_1$, значит $P = (0, 0.5, 1)$. * $Q$ делит $AB_1$ в отношении $2:1$ от $A$. $AB_1$ — отрезок от $(0,0,0)$ до $(1,0,1)$. Точка $Q = \frac{2}{3}B_1 + \frac{1}{3}A = (2/3, 0, 2/3)$. * $R$ — точка пересечения диагоналей грани $BCC_1B_1$ (отрезков $BC_1$ и $B_1C$). Это центр квадрата $BCC_1B_1$, его координаты: $R = (1, 0.5, 0.5)$. 2. **Уравнение плоскости $PQR$:** Найдем векторы $\vec{PQ}$ и $\vec{PR}$: * $\vec{PQ} = (2/3 - 0; 0 - 0.5; 2/3 - 1) = (2/3; -0.5; -1/3)$. * $\vec{PR} = (1 - 0; 0.5 - 0.5; 0.5 - 1) = (1; 0; -0.5)$. Вектор нормали $\vec{n} = \vec{PQ} \times \vec{PR}$: $$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2/3 & -1/2 & -1/3 \\ 1 & 0 & -1/2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1/4 - 0) - \mathbf{j}(-1/3 + 1/3) + \mathbf{k}(0 + 1/2) = (1/4; 0; 1/2)$$. Умножим на 4, чтобы упростить: $\vec{n'} = (1; 0; 2)$. Уравнение плоскости: $1(x - 0) + 0(y - 0.5) + 2(z - 1) = 0 \Rightarrow x + 2z - 2 = 0$. 3. **Пересечение с ребрами:** * $x + 2z = 2$. * Плоскость пересекает ребро $AD$ (где $y=0, z=0$): $x = 2$ (вне куба). * Пересечение с гранью $AA_1B_1B$ ($z$ от 0 до 1, $y=0$): при $x=0, z=1$ ($A_1$); при $x=1, z=0.5$ (точка $S$ на $BB_1$). * Пересечение с гранью $DCC_1D_1$ ($x=0$): $z=1$ (это линия $PD_1$ на ребре $A_1D_1$ и $D_1C_1$). Сечением является пятиугольник $PQRSK$, где вершины лежат на ребрах. Площадь проекции сечения на плоскость $xOz$ (проекция $S_{proj}$): $x+2z=2$, это трапеция в плоскости $xOz$. Проекция сечения — фигура, ограниченная прямыми $x=0, x=1, z=1, z=0.5$ и линией $x+2z=2$. Площадь проекции $S_{proj} = 0.375$. Косинус угла $\alpha$ между плоскостью сечения и плоскостью $xOz$ (нормаль $(0,1,0)$): $\cos \alpha = \frac{|(1,0,2) \cdot (0,1,0)|}{|\vec{n}| |\vec{n}_{xOz}|} = 0$. Удобнее проецировать на плоскость $xOy$ (нормаль $(0,0,1)$). Нормаль плоскости сечения $\vec{n}=(1,0,2)$, нормаль $xOy$ $\vec{k}=(0,0,1)$. $\cos \gamma = \frac{|(1,0,2) \cdot (0,0,1)|}{\sqrt{1+0+4} \cdot 1} = \frac{2}{\sqrt{5}}$. Площадь сечения $S = \frac{S_{proj}}{\cos \gamma} = \frac{0.375 \cdot \sqrt{5}}{2} = \frac{3\sqrt{5}}{16}$. **Ответ:** $\frac{3\sqrt{5}}{16}$