Построй график функции y = x² – 6x + 5. Найдите с помощью графика: а) значение y при х = 0,5;

1. Построим график функции $y = x^2 - 6x + 5$. Это парабола, ветви направлены вверх. * Найдем вершину параболы: $x_v = -b/2a = -(-6)/(2*1) = 3$. $y_v = 3^2 - 6*3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$. Вершина параболы в точке $(3, -4)$. * Найдем нули функции, решив уравнение $x^2 - 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 6$ и $x_1 * x_2 = 5$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$. * Дополнительные точки для графика: $x = 0$, $y = 5$; $x = 2$, $y = -3$; $x = 4$, $y = -3$; $x = 6$, $y = 5$. :::div .chart-container @chart-1::: a) При $x = 0.5$, $y = (0.5)^2 - 6(0.5) + 5 = 0.25 - 3 + 5 = 2.25$ b) Чтобы найти $x$, при которых $y = -1$, решим уравнение $x^2 - 6x + 5 = -1$, то есть $x^2 - 6x + 6 = 0$. $D = (-6)^2 - 4*1*6 = 36 - 24 = 12$. $x = (6 \pm \sqrt{12})/2 = (6 \pm 2\sqrt{3})/2 = 3 \pm \sqrt{3}$. $x_1 = 3 + \sqrt{3} \approx 4.73$, $x_2 = 3 - \sqrt{3} \approx 1.27$. c) Нули функции: $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$. $y > 0$ при $x < 1$ или $x > 5$. $y < 0$ при $1 < x < 5$. d) Функция возрастает на промежутке $x > 3$. 2. Чтобы найти наименьшее значение функции $y = x^2 - 8x + 7$, найдем вершину параболы. $x_v = -(-8)/(2*1) = 4$. $y_v = 4^2 - 8*4 + 7 = 16 - 32 + 7 = -9$. Наименьшее значение функции равно $-9$. 3. Найдем область значений функции $y = x^2 - 6x - 13$ при $x \in [-2; 7]$. $x_v = -(-6)/(2*1) = 3$. $y_v = 3^2 - 6*3 - 13 = 9 - 18 - 13 = -22$. Так как вершина параболы находится в точке $x = 3$, которая принадлежит отрезку $[-2; 7]$, наименьшее значение функции равно $-22$. Найдем значения функции на концах отрезка: $y(-2) = (-2)^2 - 6*(-2) - 13 = 4 + 12 - 13 = 3$. $y(7) = 7^2 - 6*7 - 13 = 49 - 42 - 13 = -6$. Область значений функции: $[-22; 3]$. 4. Чтобы определить, пересекаются ли парабола $y = \frac{1}{4}x^2$ и прямая $y = 5x - 16$, приравняем уравнения: $\frac{1}{4}x^2 = 5x - 16$. $x^2 = 20x - 64$. $x^2 - 20x + 64 = 0$. Найдем дискриминант: $D = (-20)^2 - 4*1*64 = 400 - 256 = 144$. Так как $D > 0$, есть две точки пересечения. $x_1 = (20 + \sqrt{144})/2 = (20 + 12)/2 = 16$. $x_2 = (20 - \sqrt{144})/2 = (20 - 12)/2 = 4$. Найдем соответствующие значения $y$: $y_1 = 5*16 - 16 = 80 - 16 = 64$. $y_2 = 5*4 - 16 = 20 - 16 = 4$. Точки пересечения: $(16, 64)$ и $(4, 4)$. 5. $\sqrt[3]{-3\frac{3}{8}} + 12\sqrt[4]{7\frac{58}{81}} = \sqrt[3]{-\frac{27}{8}} + 12\sqrt[4]{\frac{625}{81}} = -\frac{3}{2} + 12 * \frac{5}{3} = -1.5 + 20 = 18.5$. **Ответ:** 1. а) 2.25 2. б) $3+\sqrt{3}$ и $3-\sqrt{3}$ 3. в) нули: 1 и 5, $y > 0$ при $x < 1$ или $x > 5$, $y < 0$ при $1 < x < 5$ 4. г) $x > 3$ 5. -9 6. $[-22; 3]$ 7. (16, 64) и (4, 4) 8. 18.5