а) Решите уравнение 4 cos³ x + 3 cos x + 4√3 = 4√3 sin² x. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π/2; 3π].

а) Решим уравнение $4 \cos^3 x + 3 \cos x + 4\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \sin^2 x$. 1. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$: $4 \cos^3 x + 3 \cos x + 4\sqrt{3} = 4\sqrt{3}(1 - \cos^2 x)$ $4 \cos^3 x + 3 \cos x + 4\sqrt{3} = 4\sqrt{3} - 4\sqrt{3} \cos^2 x$ 2. Перенесем все слагаемые в левую часть и упростим: $4 \cos^3 x + 4\sqrt{3} \cos^2 x + 3 \cos x = 0$ 3. Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки: $\cos x (4 \cos^2 x + 4\sqrt{3} \cos x + 3) = 0$ 4. Уравнение распадается на два случая: 1) $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ 2) $4 \cos^2 x + 4\sqrt{3} \cos x + 3 = 0$ Решим квадратное уравнение относительно $t = \cos x$: $D = (4\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 16 \cdot 3 - 48 = 48 - 48 = 0$ Уравнение имеет один корень: $t = \frac{-4\sqrt{3}}{2 \cdot 4} = -\frac{4\sqrt{3}}{8} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ б) Отберем корни на отрезке $\left[\frac{3\pi}{2}; 3\pi\right]$: 1. Из серии $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$: При $k = 1: x = \frac{3\pi}{2}$ (входит) При $k = 2: x = \frac{5\pi}{2}$ (входит) 2. Из серии $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$: При $n = 1: x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6} \approx 2,83\pi$ (входит) 3. Из серии $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$: При $n = 1: x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{7\pi}{6} < 1,5\pi$ (не входит) При $n = 2: x = -\frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{19\pi}{6} > 3\pi$ (не входит) **Ответ:** а) $\frac{\pi}{2} + \pi k; \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, k, n \in \mathbb{Z}$ б) $\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}; \frac{17\pi}{6}$