Можешь подсказать при каких значениях X выражение имеет смысл в задании под номером I.1)

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями по порядку. Нам нужно найти, при каких значениях $x$ выражения имеют смысл. Это значит, что подкоренное выражение (то, что находится под знаком корня) должно быть больше или равно нулю. I. 1) $\sqrt{x}$: Выражение имеет смысл, когда $x \geq 0$. 2) $\sqrt{-x}$: Выражение имеет смысл, когда $-x \geq 0$, то есть $x \leq 0$. 3) $\sqrt{x-5}$: Выражение имеет смысл, когда $x-5 \geq 0$, то есть $x \geq 5$. 4) $\sqrt{7+x}$: Выражение имеет смысл, когда $7+x \geq 0$, то есть $x \geq -7$. II. 1) $\sqrt{3x+12}$: Выражение имеет смысл, когда $3x+12 \geq 0$. Решаем неравенство: $3x \geq -12$, значит, $x \geq -4$. 2) $\sqrt{16-5x}$: Выражение имеет смысл, когда $16-5x \geq 0$. Решаем неравенство: $-5x \geq -16$, значит, $x \leq \frac{16}{5}$ или $x \leq 3.2$. 3) $\sqrt{7+0.2x}$: Выражение имеет смысл, когда $7+0.2x \geq 0$. Решаем неравенство: $0.2x \geq -7$, значит, $x \geq -\frac{7}{0.2}$ или $x \geq -35$. 4) $\sqrt{10x+120}$: Выражение имеет смысл, когда $10x+120 \geq 0$. Решаем неравенство: $10x \geq -120$, значит, $x \geq -12$. III. 1) $\sqrt{\frac{4x-12}{4x+16}}$: Выражение имеет смысл, когда $\frac{4x-12}{4x+16} \geq 0$. Сначала найдём нули числителя и знаменателя: - $4x-12 = 0$, значит, $x = 3$. - $4x+16 = 0$, значит, $x = -4$. Теперь рассмотрим интервалы: $(-\infty; -4)$, $(-4; 3)$ и $(3; +\infty)$. - Если $x < -4$, например, $x = -5$, то $\frac{4(-5)-12}{4(-5)+16} = \frac{-32}{-4} = 8 > 0$. Подходит. - Если $-4 < x < 3$, например, $x = 0$, то $\frac{4(0)-12}{4(0)+16} = \frac{-12}{16} < 0$. Не подходит. - Если $x > 3$, например, $x = 4$, то $\frac{4(4)-12}{4(4)+16} = \frac{4}{32} > 0$. Подходит. Итого, $x \in (-\infty; -4) \cup [3; +\infty)$. 2) $\sqrt{\frac{25-x}{x}}$: Выражение имеет смысл, когда $\frac{25-x}{x} \geq 0$. Сначала найдём нули числителя и знаменателя: - $25-x = 0$, значит, $x = 25$. - $x = 0$. Теперь рассмотрим интервалы: $(-\infty; 0)$, $(0; 25)$ и $(25; +\infty)$. - Если $x < 0$, например, $x = -1$, то $\frac{25-(-1)}{-1} = \frac{26}{-1} < 0$. Не подходит. - Если $0 < x < 25$, например, $x = 1$, то $\frac{25-1}{1} = 24 > 0$. Подходит. - Если $x > 25$, например, $x = 26$, то $\frac{25-26}{26} = \frac{-1}{26} < 0$. Не подходит. Итого, $x \in (0; 25]$. 3) $\sqrt{\frac{12x+24}{100-x}}$: Выражение имеет смысл, когда $\frac{12x+24}{100-x} \geq 0$. Сначала найдём нули числителя и знаменателя: - $12x+24 = 0$, значит, $x = -2$. - $100-x = 0$, значит, $x = 100$. Теперь рассмотрим интервалы: $(-\infty; -2)$, $(-2; 100)$ и $(100; +\infty)$. - Если $x < -2$, например, $x = -3$, то $\frac{12(-3)+24}{100-(-3)} = \frac{-12}{103} < 0$. Не подходит. - Если $-2 < x < 100$, например, $x = 0$, то $\frac{12(0)+24}{100-0} = \frac{24}{100} > 0$. Подходит. - Если $x > 100$, например, $x = 101$, то $\frac{12(101)+24}{100-101} = \frac{1236}{-1} < 0$. Не подходит. Итого, $x \in [-2; 100)$. 4) $\sqrt{\frac{4x^2-20x+25}{x^2-4}}$: Выражение имеет смысл, когда $\frac{4x^2-20x+25}{x^2-4} \geq 0$. Заметим, что $4x^2-20x+25 = (2x-5)^2$, и $x^2-4 = (x-2)(x+2)$. Тогда выражение можно переписать как $\frac{(2x-5)^2}{(x-2)(x+2)} \geq 0$. - $(2x-5)^2 = 0$, значит, $x = \frac{5}{2} = 2.5$. - $x-2 = 0$, значит, $x = 2$. - $x+2 = 0$, значит, $x = -2$. Теперь рассмотрим интервалы: $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$, $(2; 2.5)$ и $(2.5; +\infty)$. - Если $x < -2$, например, $x = -3$, то $\frac{(2(-3)-5)^2}{(-3-2)(-3+2)} = \frac{121}{5} > 0$. Подходит. - Если $-2 < x < 2$, например, $x = 0$, то $\frac{(2(0)-5)^2}{(0-2)(0+2)} = \frac{25}{-4} < 0$. Не подходит. - Если $2 < x < 2.5$, например, $x = 2.1$, то $\frac{(2(2.1)-5)^2}{(2.1-2)(2.1+2)} = \frac{0.64}{0.41} > 0$. Подходит. - Если $x > 2.5$, например, $x = 3$, то $\frac{(2(3)-5)^2}{(3-2)(3+2)} = \frac{1}{5} > 0$. Подходит. Итого, $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$. 5) $\sqrt{\frac{9x^2+24x+16}{x^2-4x+4}}$: Выражение имеет смысл, когда $\frac{9x^2+24x+16}{x^2-4x+4} \geq 0$. Заметим, что $9x^2+24x+16 = (3x+4)^2$, и $x^2-4x+4 = (x-2)^2$. Тогда выражение можно переписать как $\frac{(3x+4)^2}{(x-2)^2} \geq 0$. - $(3x+4)^2 = 0$, значит, $x = -\frac{4}{3}$. - $(x-2)^2 = 0$, значит, $x = 2$. Так как $(3x+4)^2$ и $(x-2)^2$ всегда неотрицательны (потому что это квадраты), то выражение $\frac{(3x+4)^2}{(x-2)^2}$ всегда больше или равно нулю, за исключением случая, когда знаменатель равен нулю (то есть $x=2$). Итого, $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.