Решаю задания по геометрии из контрольной работы.
**Вариант 1**
1. Чтобы найти сторону AC треугольника ABC, воспользуемся теоремой косинусов:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos(B)$.
Подставляем значения: $AC^2 = 5^2 + 8^2 - 2 * 5 * 8 * cos(60)$.
$AC^2 = 25 + 64 - 80 * 0.5 = 89 - 40 = 49$.
$AC = \sqrt{49} = 7$ см.
**Ответ: 7 см**
2. Чтобы найти косинус наибольшего угла треугольника со сторонами 6 см, 7 см и 9 см, сначала определим, какой угол наибольший. Наибольший угол лежит напротив наибольшей стороны, то есть напротив стороны 9 см. Обозначим этот угол как α. Снова используем теорему косинусов, чтобы найти cos(α):
$9^2 = 6^2 + 7^2 - 2 * 6 * 7 * cos(α)$.
$81 = 36 + 49 - 84 * cos(α)$.
$81 = 85 - 84 * cos(α)$.
$84 * cos(α) = 85 - 81 = 4$.
$cos(α) = \frac{4}{84} = \frac{1}{21}$.
**Ответ: $\frac{1}{21}$**
3. Определим вид треугольника со сторонами 5 см, 7 см и 9 см. Для этого сравним квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других сторон:
$9^2 = 81$.
$5^2 + 7^2 = 25 + 49 = 74$.
Так как $81 > 74$, то есть $9^2 > 5^2 + 7^2$, треугольник тупоугольный.
**Ответ: тупоугольный**
4. Стороны параллелограмма равны 8 и 10 см, а один из углов равен 60°. Найдите диагонали параллелограмма.
Пусть стороны параллелограмма $a = 8$ см и $b = 10$ см, а угол между ними $\alpha = 60^\circ$. Диагонали параллелограмма можно найти по формулам:
$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)$,
$d_2^2 = a^2 + b^2 + 2ab \cos(\alpha)$.
Подставляем значения:
$d_1^2 = 8^2 + 10^2 - 2 * 8 * 10 * \cos(60^\circ) = 64 + 100 - 160 * 0.5 = 164 - 80 = 84$.
$d_1 = \sqrt{84} = 2\sqrt{21}$ см.
$d_2^2 = 8^2 + 10^2 + 2 * 8 * 10 * \cos(60^\circ) = 64 + 100 + 160 * 0.5 = 164 + 80 = 244$.
$d_2 = \sqrt{244} = 2\sqrt{61}$ см.
**Ответ: диагонали параллелограмма $2\sqrt{21}$ см и $2\sqrt{61}$ см.**
**Вариант 2**
1. Чтобы найти сторону BC треугольника ABC, воспользуемся теоремой косинусов:
$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 * AB * AC * cos(A)$.
Подставляем значения: $BC^2 = 7^2 + 4^2 - 2 * 7 * 4 * cos(120)$.
$BC^2 = 49 + 16 - 56 * (-0.5) = 65 + 28 = 93$.
$BC = \sqrt{93}$ см.
**Ответ: $\sqrt{93}$ см**
2. Чтобы найти косинус наименьшего угла треугольника со сторонами 5 см, 6 см и 8 см, сначала определим, какой угол наименьший. Наименьший угол лежит напротив наименьшей стороны, то есть напротив стороны 5 см. Обозначим этот угол как α. Снова используем теорему косинусов, чтобы найти cos(α):
$5^2 = 6^2 + 8^2 - 2 * 6 * 8 * cos(α)$.
$25 = 36 + 64 - 96 * cos(α)$.
$25 = 100 - 96 * cos(α)$.
$96 * cos(α) = 100 - 25 = 75$.
$cos(α) = \frac{75}{96} = \frac{25}{32}$.
**Ответ: $\frac{25}{32}$**
3. Определим вид треугольника со сторонами 4 см, 5 см и 6 см. Для этого сравним квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других сторон:
$6^2 = 36$.
$4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$.
Так как $36 < 41$, то есть $6^2 < 4^2 + 5^2$, треугольник остроугольный.
**Ответ: остроугольный**
4. Стороны параллелограмма равны 6 и 12 см, а один из углов равен 45°. Найдите диагонали параллелограмма.
Пусть стороны параллелограмма $a = 6$ см и $b = 12$ см, а угол между ними $\alpha = 45^\circ$. Диагонали параллелограмма можно найти по формулам:
$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)$,
$d_2^2 = a^2 + b^2 + 2ab \cos(\alpha)$.
Подставляем значения:
$d_1^2 = 6^2 + 12^2 - 2 * 6 * 12 * \cos(45^\circ) = 36 + 144 - 144 * (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 180 - 72\sqrt{2}$.
$d_1 = \sqrt{180 - 72\sqrt{2}}$ см.
$d_2^2 = 6^2 + 12^2 + 2 * 6 * 12 * \cos(45^\circ) = 36 + 144 + 144 * (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 180 + 72\sqrt{2}$.
$d_2 = \sqrt{180 + 72\sqrt{2}}$ см.
**Ответ: диагонали параллелограмма $\sqrt{180 - 72\sqrt{2}}$ см и $\sqrt{180 + 72\sqrt{2}}$ см.**
