Можешь помочь мне решить неравенства из номеров 1099, 1101 и определить, при каких значениях x выражения в номерах 1100 и 1102 имеют смысл?

Конечно, давай разберёмся с этими заданиями по порядку! **1099. Решите неравенство:** а) $(2x + 1)(x + 4) - 3x(x + 2) < 0$ Сначала раскроем скобки: $2x^2 + 8x + x + 4 - 3x^2 - 6x < 0$ Приведём подобные слагаемые: $-x^2 + 3x + 4 < 0$ Домножим на -1, чтобы избавиться от минуса перед $x^2$, не забудем поменять знак неравенства: $x^2 - 3x - 4 > 0$ Теперь решим квадратное уравнение $x^2 - 3x - 4 = 0$. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. Давай по теореме Виета: $x_1 + x_2 = 3$ $x_1 * x_2 = -4$ Подходят корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$. Теперь нарисуем числовую прямую и отметим эти точки. Расставим знаки на интервалах (подставляем значения из каждого интервала в исходное неравенство $x^2 - 3x - 4 > 0$): `---(-1)---(+)---(4)---` Нам нужны интервалы, где знак «+», то есть больше нуля. **Ответ:** $x < -1$ или $x > 4$ б) $(3x - 2)^2 - 4x(2x – 3) > 0$ Раскроем скобки: $9x^2 - 12x + 4 - 8x^2 + 12x > 0$ Приведём подобные слагаемые: $x^2 + 4 > 0$ Так как $x^2$ всегда неотрицателен (больше или равен нулю), то $x^2 + 4$ всегда больше нуля при любых значениях $x$. **Ответ:** $x$ - любое число. в) $(1 - 6x)(1 + 6x) + 7x(5x – 2) > 14$ Раскроем скобки: $1 - 36x^2 + 35x^2 - 14x > 14$ Приведём подобные слагаемые и перенесём всё в одну сторону: $-x^2 - 14x - 13 > 0$ Домножим на -1: $x^2 + 14x + 13 < 0$ Решим квадратное уравнение $x^2 + 14x + 13 = 0$ через теорему Виета: $x_1 + x_2 = -14$ $x_1 * x_2 = 13$ Подходят корни $x_1 = -1$ и $x_2 = -13$. Нарисуем числовую прямую и отметим эти точки, расставим знаки: `(+)-(-13)-(+)-(-1)-(+)---` Нам нужен интервал, где знак «-», то есть меньше нуля. **Ответ:** $-13 < x < -1$ г) $(5x + 2)(x − 1) − (2x + 1)(2x – 1) < 27$ Раскроем скобки: $5x^2 - 5x + 2x - 2 - (4x^2 - 2x + 2x - 1) < 27$ $5x^2 - 3x - 2 - 4x^2 + 1 < 27$ Приведём подобные слагаемые: $x^2 - 3x - 1 < 27$ $x^2 - 3x - 28 < 0$ Решим квадратное уравнение $x^2 - 3x - 28 = 0$ через теорему Виета: $x_1 + x_2 = 3$ $x_1 * x_2 = -28$ Подходят корни $x_1 = 7$ и $x_2 = -4$. Нарисуем числовую прямую и отметим эти точки, расставим знаки: `(+)-(-4)-(+)-(7)-(+)---` Нам нужен интервал, где знак «-», то есть меньше нуля. **Ответ:** $-4 < x < 7$ **1100. При каких значениях $x$ имеет смысл выражение:** а) $\sqrt{12x-4}$; Выражение имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно: $12x - 4 \ge 0$ $12x \ge 4$ $x \ge \frac{4}{12}$ $x \ge \frac{1}{3}$ **Ответ:** $x \ge \frac{1}{3}$ б) $\sqrt{3-0,6x}$; $3 - 0,6x \ge 0$ $-0,6x \ge -3$ $0,6x \le 3$ (знак поменялся, так как делим на отрицательное число) $x \le \frac{3}{0,6}$ $x \le 5$ **Ответ:** $x \le 5$ в) $\sqrt{15+2x-x^2}$; $15 + 2x - x^2 \ge 0$ $-x^2 + 2x + 15 \ge 0$ Умножим на -1: $x^2 - 2x - 15 \le 0$ Найдём корни уравнения $x^2 - 2x - 15 = 0$: $x_1 + x_2 = 2$ $x_1 \cdot x_2 = -15$ $x_1 = 5, x_2 = -3$ `(+)-(-3)-(+)-(5)-(+)---` **Ответ:** $-3 \le x \le 5$ г) $\sqrt{2x^2+x-6}$; $2x^2 + x - 6 \ge 0$ Решим уравнение $2x^2 + x - 6 = 0$ через дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49$ $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 7}{4} = \frac{6}{4} = 1,5$ $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 7}{4} = \frac{-8}{4} = -2$ `(+)-(-2)-(+)-(1.5)-(+)---` **Ответ:** $x \le -2$ или $x \ge 1,5$ д) $\sqrt{12-5x}+\sqrt{2x-1}$; Тут нужно, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательными: $\begin{cases} 12 - 5x \ge 0 \\ 2x - 1 \ge 0 \end{cases}$ Решим первое неравенство: $12 - 5x \ge 0$ $-5x \ge -12$ $x \le \frac{12}{5}$ $x \le 2,4$ Решим второе неравенство: $2x - 1 \ge 0$ $2x \ge 1$ $x \ge \frac{1}{2}$ $x \ge 0,5$ Объединим решения: $0,5 \le x \le 2,4$ **Ответ:** $0,5 \le x \le 2,4$ е) $\sqrt{x^2+4+\sqrt{3x-17}}$? Здесь нужно, чтобы выражение под внешним корнем было неотрицательным, и под внутренним тоже: $\begin{cases} 3x - 17 \ge 0 \\ x^2 + 4 + \sqrt{3x - 17} \ge 0 \end{cases}$ Решим первое неравенство: $3x - 17 \ge 0$ $3x \ge 17$ $x \ge \frac{17}{3}$ $x \ge 5\frac{2}{3}$ Второе неравенство всегда выполняется, потому что $x^2 + 4$ всегда положительно, а корень тоже неотрицателен. Так что нам нужно только первое условие. **Ответ:** $x \ge 5\frac{2}{3}$ **1101. Решите неравенство:** а) $(2x + 7) (3x + 6) (x - 5) > 0$; Найдём нули каждого множителя: $2x + 7 = 0 \Rightarrow x = -3,5$ $3x + 6 = 0 \Rightarrow x = -2$ $x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$ Нарисуем числовую прямую и расставим знаки: `(-)-(-3.5)-(+)-(-2)-(-)-(5)-(+)` **Ответ:** $-3,5 < x < -2$ или $x > 5$ б) $(x + 2) (0,5x + 4) (1,5x - 6) < 0$; $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$ $0,5x + 4 = 0 \Rightarrow x = -8$ $1,5x - 6 = 0 \Rightarrow x = 4$ `(-)-(-8)-(+)-(-2)-(-)-(4)-(+)` **Ответ:** $x < -8$ или $-2 < x < 4$ в) $(x - 6) (4x - 12) (5x + 10) < 0$; $x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6$ $4x - 12 = 0 \Rightarrow x = 3$ $5x + 10 = 0 \Rightarrow x = -2$ `(-)-(-2)-(+)-(3)-(-)-(6)-(+)` **Ответ:** $x < -2$ или $3 < x < 6$ г) $(0,2x - 4) (0,1x + 7) (0,3x - 9) \ge 0$. $0,2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 20$ $0,1x + 7 = 0 \Rightarrow x = -70$ $0,3x - 9 = 0 \Rightarrow x = 30$ `(-)-(-70)-(+)-(20)-(-)-(30)-(+)` **Ответ:** $-70 \le x \le 20$ или $x \ge 30$ **1102. При каких значениях $x$ значение дроби:** а) $\frac{8-2x}{3x+12}$ положительно; Дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. $\begin{cases} 8 - 2x > 0 \\ 3x + 12 > 0 \end{cases}$ Или $\begin{cases} 8 - 2x < 0 \\ 3x + 12 < 0 \end{cases}$ Решим первую систему: $\begin{cases} -2x > -8 \\ 3x > -12 \end{cases}$ $\begin{cases} x < 4 \\ x > -4 \end{cases}$ $-4 < x < 4$ Решим вторую систему: $\begin{cases} x > 4 \\ x < -4 \end{cases}$ Эта система не имеет решений. **Ответ:** $-4 < x < 4$ б) $\frac{3x-1}{5x+8}$ отрицательно; Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки. $\begin{cases} 3x - 1 > 0 \\ 5x + 8 < 0 \end{cases}$ Или $\begin{cases} 3x - 1 < 0 \\ 5x + 8 > 0 \end{cases}$ Решим первую систему: $\begin{cases} 3x > 1 \\ 5x < -8 \end{cases}$ $\begin{cases} x > \frac{1}{3} \\ x < -\frac{8}{5} \end{cases}$ Эта система не имеет решений. Решим вторую систему: $\begin{cases} x < \frac{1}{3} \\ x > -\frac{8}{5} \end{cases}$ $-\frac{8}{5} < x < \frac{1}{3}$ **Ответ:** $-\frac{8}{5} < x < \frac{1}{3}$ в) $\frac{5x+8}{2x-7}$ неположительно; Дробь неположительна, когда она отрицательна или равна нулю. $\begin{cases} 5x + 8 \le 0 \\ 2x - 7 > 0 \end{cases}$ Или $\begin{cases} 5x + 8 \ge 0 \\ 2x - 7 < 0 \end{cases}$ Решим первую систему: $\begin{cases} 5x \le -8 \\ 2x > 7 \end{cases}$ $\begin{cases} x \le -\frac{8}{5} \\ x > \frac{7}{2} \end{cases}$ Эта система не имеет решений. Решим вторую систему: $\begin{cases} x \ge -\frac{8}{5} \\ x < \frac{7}{2} \end{cases}$ $-\frac{8}{5} \le x < \frac{7}{2}$ **Ответ:** $-\frac{8}{5} \le x < \frac{7}{2}$ г) $\frac{6-6x}{6-6x}$ неотрицательно? $\frac{6-6x}{6-6x} = 1$ при $x \ne 1$. **Ответ:** $x \ne 1$