Реши уравнение $(\frac{1}{2})^{\sqrt{1-x}} \cdot (\frac{1}{2})^{-1} = (\frac{1}{2})^{2x}$

Чтобы решить уравнение $(\frac{1}{2})^{\sqrt{1-x}} \cdot (\frac{1}{2})^{-1} = (\frac{1}{2})^{2x}$, нужно воспользоваться свойствами степеней. А именно, если основания степеней одинаковые, то можно приравнять показатели. Сначала упростим левую часть уравнения, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $$(\frac{1}{2})^{\sqrt{1-x}} \cdot (\frac{1}{2})^{-1} = (\frac{1}{2})^{\sqrt{1-x} - 1}$$ Теперь у нас есть уравнение: $$(\frac{1}{2})^{\sqrt{1-x} - 1} = (\frac{1}{2})^{2x}$$ Так как основания одинаковые, приравниваем показатели: $$\sqrt{1-x} - 1 = 2x$$ Перенесем 1 в правую часть: $$\sqrt{1-x} = 2x + 1$$ Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат: $$(\sqrt{1-x})^2 = (2x + 1)^2$$ $$1-x = 4x^2 + 4x + 1$$ Теперь перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $$4x^2 + 4x + 1 - 1 + x = 0$$ $$4x^2 + 5x = 0$$ Вынесем $x$ за скобки: $$x(4x + 5) = 0$$ Теперь найдем корни уравнения. Первый корень очевиден: $$x_1 = 0$$ Второй корень найдем, приравняв выражение в скобках к нулю: $$4x + 5 = 0$$ $$4x = -5$$ $$x_2 = -\frac{5}{4} = -1.25$$ Теперь нужно проверить, какие из этих корней подходят в исходное уравнение, потому что при возведении в квадрат могли появиться посторонние корни. Проверим $x_1 = 0$: $$(\frac{1}{2})^{\sqrt{1-0}} \cdot (\frac{1}{2})^{-1} = (\frac{1}{2})^{2 \cdot 0}$$ $$(\frac{1}{2})^1 \cdot (\frac{1}{2})^{-1} = (\frac{1}{2})^0$$ $$(\frac{1}{2}) \cdot 2 = 1$$ $$1 = 1$$ Значит, $x_1 = 0$ - корень. Проверим $x_2 = -1.25$: $$(\frac{1}{2})^{\sqrt{1-(-1.25)}} \cdot (\frac{1}{2})^{-1} = (\frac{1}{2})^{2 \cdot (-1.25)}$$ $$(\frac{1}{2})^{\sqrt{2.25}} \cdot (\frac{1}{2})^{-1} = (\frac{1}{2})^{-2.5}$$ $$(\frac{1}{2})^{1.5} \cdot (\frac{1}{2})^{-1} = (\frac{1}{2})^{-2.5}$$ $$(\frac{1}{2})^{1.5 - 1} = (\frac{1}{2})^{-2.5}$$ $$(\frac{1}{2})^{0.5} = (\frac{1}{2})^{-2.5}$$ Это неверно, значит, $x_2 = -1.25$ - не корень. **Ответ: $x = 0$**