Можешь доказать, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом, если углы ∠BAC=∠ACD и ∠BCA = ∠DAC?

Для решения задачи 471 a) нужно доказать, что если в четырехугольнике $ABCD$ углы $\angle BAC = \angle ACD$ и $\angle BCA = \angle DAC$, то этот четырехугольник — параллелограмм. Тут нужно вспомнить признаки параллелограмма. Один из них говорит, что если в четырехугольнике противоположные стороны попарно параллельны, то это параллелограмм. Раз $\angle BAC = \angle ACD$ и они являются накрест лежащими углами при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$, то $AB \parallel CD$. Аналогично, раз $\angle BCA = \angle DAC$ и они накрест лежащие при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$, то $BC \parallel AD$. Получается, что противоположные стороны четырехугольника попарно параллельны, а значит, $ABCD$ — параллелограмм. Для задачи 471 б) надо доказать, что если $AB \parallel CD$ и $\angle A = \angle C$, то четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм. **Допущение:** Четырехугольник $ABCD$ - выпуклый. Раз $AB \parallel CD$, то углы $\angle A$ и $\angle D$ — внутренние односторонние при параллельных прямых, и их сумма равна $180^{\circ}$. То есть, $\angle A + \angle D = 180^{\circ}$. Аналогично, $\angle C + \angle B = 180^{\circ}$. Но по условию $\angle A = \angle C$, значит, и $\angle D = \angle B$. Теперь у нас есть две пары равных углов: $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$. А это значит, что $ABCD$ — параллелограмм, потому что у параллелограмма противоположные углы равны.