Ты просишь решить задачи по геометрии на тему параллелограмм из контрольной работы: найти стороны и углы параллелограмма, а также периметр.

Вариант 1. А1. Пусть меньшая сторона равна $x$ см, тогда большая сторона равна $2x$ см. Периметр параллелограмма равен $2(x + 2x) = 6x$ см. Из условия известно, что периметр равен 36 см. Получаем уравнение: $6x = 36$. Разделим обе части уравнения на 6: $x = 6$. Значит, наименьшая сторона равна 6 см. **Правильный ответ: 1** А2. В параллелограмме сумма всех углов равна 360 градусов. Противоположные углы параллелограмма равны, значит $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$. Тогда $\angle A + \angle B + \angle D = \angle A + \angle B + \angle B = \angle A + 2\angle B = 252^\circ$. Также мы знаем, что сумма смежных углов в параллелограмме равна 180 градусов, то есть $\angle A + \angle B = 180^\circ$. Выразим $\angle A$ через $\angle B$: $\angle A = 180^\circ - \angle B$. Подставим это выражение в первое уравнение: $(180^\circ - \angle B) + 2\angle B = 252^\circ$. Упростим: $180^\circ + \angle B = 252^\circ$. Вычтем $180^\circ$ из обеих частей: $\angle B = 72^\circ$. Тогда $\angle A = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$. **Правильный ответ: 2** А3. В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ со сторонами $AB$ и $BC$ образует углы, равные соответственно $45^\circ$ и $25^\circ$. Сумма углов треугольника $ABC$ равна $180^\circ$. Значит, $\angle B = 180^\circ - 45^\circ - 25^\circ = 110^\circ$. Противоположные углы параллелограмма равны, следовательно, $\angle C = \angle A$. Сумма углов параллелограмма равна $360^\circ$, значит $2(\angle B + \angle C) = 360^\circ$. Тогда $\angle B + \angle C = 180^\circ$, следовательно $\angle C = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$. **Правильный ответ: 3** А4. В параллелограмме $ABCD$ биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$ так, что $BK = 7$ см, $KC = 3$ см. Так как $AK$ - биссектриса, то $\angle BAK = \angle KAD$. Углы $BKA$ и $KAD$ являются накрест лежащими углами при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AK$, следовательно, $\angle BKA = \angle KAD$. Значит, $\angle BAK = \angle BKA$, а следовательно, треугольник $ABK$ - равнобедренный, и $AB = BK = 7$ см. Сторона $BC = BK + KC = 7 + 3 = 10$ см. Периметр параллелограмма равен $2(AB + BC) = 2(7 + 10) = 2 \cdot 17 = 34$ см. **Правильный ответ: 3** В1. В параллелограмме $ABCD$ высота, опущенная на сторону $CD$, делит её пополам и образует с диагональю $BD$ угол $30^\circ$, $AB = 10$ см. Так как высота делит сторону $CD$ пополам, обозначим половину стороны за $x$. Тогда $CD = 2x$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, половиной стороны $CD$ и диагональю $BD$. В этом треугольнике угол между высотой и диагональю равен $30^\circ$. Тогда $\tan(30^\circ) = \frac{x}{AB}$. Так как $AB = 10$ см, то $x = AB \cdot \tan(30^\circ) = 10 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}}$. Тогда $CD = 2x = \frac{20}{\sqrt{3}}$. Периметр параллелограмма равен $2(AB + CD) = 2(10 + \frac{20}{\sqrt{3}}) = 20 + \frac{40}{\sqrt{3}}$. Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: $\frac{40}{\sqrt{3}} = \frac{40\sqrt{3}}{3}$. Окончательно, периметр равен $20 + \frac{40\sqrt{3}}{3}$ см. В2. В параллелограмме $ABCD$ биссектрисы углов $B$ и $D$ пересекают стороны $AD$ и $BC$ в точках $M$ и $K$ соответственно, так, что $MD = 5$ см, $KC = 7$ см. **Допущение:** Биссектрисы углов B и D пересекают стороны AD и BC в точках M и K так, что $AM = MD = 5$ см и $BK = KC = 7$ см. Так как $AM = MD$, то $AD = AM + MD = 5 + 5 = 10$ см. Так как $BK = KC$, то $BC = BK + KC = 7 + 7 = 14$ см. Периметр параллелограмма равен $2(AD + BC) = 2(10 + 14) = 2 \cdot 24 = 48$ см. C1. На сторонах $BC$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$ отмечены точки $M$ и $H$ соответственно так, что отрезки $BH$ и $MD$ пересекаются в точке $O$, $\angle BHD = 95^\circ$, $\angle DMC = 90^\circ$, $\angle BOD = 155^\circ$. Найдите углы параллелограмма. **Недостаточно данных для точного решения.** Нужно указать дополнительные соотношения между углами или сторонами, чтобы однозначно определить углы параллелограмма. Вариант 2. А1. Пусть одна сторона равна $3x$ см, тогда другая сторона равна $2x$ см. Периметр параллелограмма равен $2(3x + 2x) = 10x$ см. Из условия известно, что периметр равен 40 см. Получаем уравнение: $10x = 40$. Разделим обе части уравнения на 10: $x = 4$. Значит, большая сторона равна $3x = 3 \cdot 4 = 12$ см. **Правильный ответ: 2** А2. В параллелограмме сумма всех углов равна 360 градусов. Сумма углов $A$, $B$ и $C$ равна $237^\circ$. Тогда угол $D = 360^\circ - 237^\circ = 123^\circ$. В параллелограмме противоположные углы равны, следовательно, угол $B$ равен углу $D$, то есть $\angle B = 123^\circ$. **Правильный ответ: 3** А3. В параллелограмме $ABCD$ диагональ $BD$ со сторонами $AB$ и $AD$ образует углы, равные соответственно $52^\circ$ и $26^\circ$. Сумма углов в треугольнике $ABD$ равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle A = 180^\circ - 52^\circ - 26^\circ = 102^\circ$. Противоположные углы параллелограмма равны, значит, $\angle C = \angle A = 102^\circ$ и $\angle B = \angle D$. Сумма углов параллелограмма равна $360^\circ$, значит, $2(\angle A + \angle B) = 360^\circ$. Тогда $\angle A + \angle B = 180^\circ$, следовательно, $\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ$. **Правильный ответ: 4** А4. В параллелограмме $ABCD$ биссектриса угла $B$ пересекает сторону $AD$ в точке $M$ так, что $AM = 8$ см, $MD = 4$ см. Так как $BM$ - биссектриса, то $\angle ABM = \angle CBM$. Углы $AMB$ и $CBM$ являются накрест лежащими углами при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BM$, следовательно, $\angle AMB = \angle CBM$. Значит, $\angle ABM = \angle AMB$, а следовательно, треугольник $ABM$ - равнобедренный, и $AB = AM = 8$ см. Сторона $AD = AM + MD = 8 + 4 = 12$ см. Периметр параллелограмма равен $2(AB + AD) = 2(8 + 12) = 2 \cdot 20 = 40$ см. **Правильный ответ: 1** В1. В параллелограмме $ABCD$ высота, опущенная на сторону $CD$, делит её пополам и образует со стороной $BC$ угол $30^\circ$, $AB = 12$ см. Так как высота делит сторону $CD$ пополам, то $CD = AB = 12$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой и стороной $BC$. В этом треугольнике угол между высотой и стороной $BC$ равен $30^\circ$. Тогда $\sin(30^\circ) = \frac{высота}{BC}$. Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, то $BC = 2 \cdot высота$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой и половиной стороны $CD$. В этом треугольнике $\tan(30^\circ) = \frac{половина CD}{высота}$. Тогда $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6}{высота}$, следовательно, высота $= 6\sqrt{3}$. Тогда $BC = 2 \cdot 6\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$. Периметр параллелограмма равен $2(AB + BC) = 2(12 + 12\sqrt{3}) = 24 + 24\sqrt{3}$ см. В2. В параллелограмме $ABCD$ биссектрисы углов $A$ и $C$ пересекают стороны $BC$ и $AD$ в точках $M$ и $K$ соответственно так, что $AK = 4$ см, $BM = 6$ см. **Допущение:** Биссектрисы углов $A$ и $C$ пересекают стороны $BC$ и $AD$ в точках $M$ и $K$ так, что $AM = AK = 4$ см и $BK = BM = 6$ см. Так как $AM = AK$, то $AD = AK + KD = 4 + KD$ см. Так как $BK = BM$, то $BC = BM + MC = 6 + MC$ см. Так как $ABCD$ - параллелограмм, то $AD = BC$, следовательно, $4 + KD = 6 + MC$. Так как биссектрисы углов $A$ и $C$, то $\angle BAK = \angle CAK$ и $\angle BCM = \angle DCM$. В параллелограмме противоположные углы равны, следовательно, $\angle A = \angle C$. Значит, $\angle BAK = \angle BCM$. C1. На сторонах $BC$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$ взяты точки $K$ и $M$ соответственно. Отрезки $BM$ и $KD$ пересекаются в точке $O$; $\angle BOD = 140^\circ$, $\angle DKB = 110^\circ$, $\angle BMC = 90^\circ$. Найдите углы параллелограмма. **Недостаточно данных для точного решения.** Нужно указать дополнительные соотношения между углами или сторонами, чтобы однозначно определить углы параллелограмма.