Помоги мне найти значения выражений: a) 3sin(2α - π/4) + 2cos(α - π), если α = π/6

Привет! Давай решим эти тригонометрические задачки по порядку. а) $3 \sin(2\alpha - \frac{\pi}{4}) + 2 \cos(\alpha - \pi)$, если $\alpha = \frac{\pi}{6}$ Подставляем значение $\alpha$ в выражение: $3 \sin(2 \cdot \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4}) + 2 \cos(\frac{\pi}{6} - \pi) = 3 \sin(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}) + 2 \cos(\frac{\pi}{6} - \pi) = 3 \sin(\frac{4\pi - 3\pi}{12}) + 2 \cos(\frac{\pi - 6\pi}{6}) = 3 \sin(\frac{\pi}{12}) + 2 \cos(-\frac{5\pi}{6})$ Теперь нужно вспомнить значения синуса и косинуса для этих углов. $\sin(\frac{\pi}{12}) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$, а $\cos(-\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставляем: $3 \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + 2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3\sqrt{6} - 3\sqrt{2}}{4} - \sqrt{3}$ Чтобы упростить, приведем к общему знаменателю: $\frac{3\sqrt{6} - 3\sqrt{2} - 4\sqrt{3}}{4}$ Вот и ответ для первого примера: **Ответ: $\frac{3\sqrt{6} - 3\sqrt{2} - 4\sqrt{3}}{4}$** б) $\sin^2(\alpha - \frac{\pi}{3}) + 3 \operatorname{tg}(\frac{\pi}{4} - \frac{2\pi}{3})$, если $\alpha = \frac{2\pi}{3}$ Подставляем значение $\alpha$: $\sin^2(\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3}) + 3 \operatorname{tg}(\frac{\pi}{4} - \frac{2\pi}{3}) = \sin^2(\frac{\pi}{3}) + 3 \operatorname{tg}(\frac{3\pi - 8\pi}{12}) = \sin^2(\frac{\pi}{3}) + 3 \operatorname{tg}(-\frac{5\pi}{12})$ Теперь найдем значения. $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, значит, $\sin^2(\frac{\pi}{3}) = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$. $\operatorname{tg}(-\frac{5\pi}{12}) = -2 - \sqrt{3}$ Подставляем: $\frac{3}{4} + 3 \cdot (-2 - \sqrt{3}) = \frac{3}{4} - 6 - 3\sqrt{3} = \frac{3 - 24}{4} - 3\sqrt{3} = -\frac{21}{4} - 3\sqrt{3}$ Приведем к общему знаменателю: $\frac{-21 - 12\sqrt{3}}{4}$ **Ответ: $\frac{-21 - 12\sqrt{3}}{4}$** в) $4 \cos(3\alpha - \frac{\pi}{6}) + \operatorname{ctg}(\alpha + \frac{\pi}{12})$, если $\alpha = \frac{\pi}{6}$ Подставляем значение $\alpha$: $4 \cos(3 \cdot \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6}) + \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{12}) = 4 \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}) + \operatorname{ctg}(\frac{2\pi + \pi}{12}) = 4 \cos(\frac{3\pi - \pi}{6}) + \operatorname{ctg}(\frac{3\pi}{12}) = 4 \cos(\frac{\pi}{3}) + \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{4})$ Теперь найдем значения. $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, а $\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$. Подставляем: $4 \cdot \frac{1}{2} + 1 = 2 + 1 = 3$ **Ответ: 3** г) $\cos(\alpha + \frac{\pi}{3}) \cdot \operatorname{tg}^2(2\alpha + \frac{\pi}{2})$, если $\alpha = -\frac{\pi}{6}$ Подставляем значение $\alpha$: $\cos(-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}) \cdot \operatorname{tg}^2(2 \cdot (-\frac{\pi}{6}) + \frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{-\pi + 2\pi}{6}) \cdot \operatorname{tg}^2(-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{6}) \cdot \operatorname{tg}^2(\frac{-\pi + 3\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) \cdot \operatorname{tg}^2(\frac{\pi}{3})$ Теперь найдем значения. $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, а $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$, значит, $\operatorname{tg}^2(\frac{\pi}{3}) = (\sqrt{3})^2 = 3$. Подставляем: $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 3 = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ **Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{2}$**