Сейчас разберемся с этими неравенствами и утверждениями!
**10. Верно ли утверждение:**
1) Если $a > b$, то $\frac{a}{b} > 1$?
*Допущение:* $b > 0$. Тогда утверждение верно.
Если $b < 0$, то $\frac{a}{b} < 1$.
2) Если $a > 1$, то $\frac{2}{a} < 2$?
Да, это верно, потому что если $a$ больше 1, то при делении 2 на $a$ получится число меньше 2.
3) Если $a < 1$, то $\frac{2}{a} > 2$?
*Допущение:* $a > 0$. Тогда утверждение верно.
Если $a < 0$, то $\frac{2}{a} < 2$.
4) Если $\frac{a}{b} > 1$, то $a > b$?
*Допущение:* $b > 0$. Тогда утверждение верно.
Если $b < 0$, то $a < b$.
5) Если $a^2 > 1$, то $a > 1$?
Не всегда. Например, если $a = -2$, то $a^2 = 4 > 1$, но $a$ не больше 1.
**11. Докажите неравенство:**
1) $2a^2 - 8a + 16 > 0$
Преобразуем: $2(a^2 - 4a + 8) > 0$. Выделяем полный квадрат: $2((a - 2)^2 + 4) > 0$. Так как $(a - 2)^2$ всегда неотрицательно, то $(a - 2)^2 + 4$ всегда больше 0, значит, неравенство верно.
2) $4b^2 + 4b + 3 > 0$
Преобразуем: $(4b^2 + 4b + 1) + 2 > 0$, значит $(2b + 1)^2 + 2 > 0$. Квадрат всегда неотрицателен, поэтому $(2b + 1)^2 + 2$ всегда больше 0.
3) $a^2 + ab + b^2 \ge 0$
Умножим на 2: $2a^2 + 2ab + 2b^2 \ge 0$. Преобразуем: $(a^2 + 2ab + b^2) + a^2 + b^2 \ge 0$, значит $(a + b)^2 + a^2 + b^2 \ge 0$. Сумма квадратов всегда неотрицательна.
4) $(3a + 2)(2a - 4) - (2a - 5)^2 > 3(4a - 12)$
Раскроем скобки: $6a^2 - 12a + 4a - 8 - (4a^2 - 20a + 25) > 12a - 36$.
$6a^2 - 8a - 8 - 4a^2 + 20a - 25 > 12a - 36$.
$2a^2 + 12a - 33 > 12a - 36$.
$2a^2 + 3 > 0$.
Это неравенство верно, так как $2a^2$ всегда неотрицательно, и $2a^2 + 3$ всегда больше 0.
5) $a(a - 3) > 5(a - 4)$
Раскроем скобки: $a^2 - 3a > 5a - 20$.
$a^2 - 8a + 20 > 0$.
Выделим полный квадрат: $(a - 4)^2 + 4 > 0$.
Квадрат всегда неотрицателен, поэтому $(a - 4)^2 + 4$ всегда больше 0.
6) $(a - b)(a + 5b) \le (2a + b)(a + 4b) + ab$
Раскроем скобки: $a^2 + 5ab - ab - 5b^2 \le 2a^2 + 8ab + ab + 4b^2 + ab$.
$a^2 + 4ab - 5b^2 \le 2a^2 + 10ab + 4b^2$.
$0 \le a^2 + 6ab + 9b^2$.
$0 \le (a + 3b)^2$.
Квадрат всегда неотрицателен, поэтому неравенство верно.
**12. Докажите неравенство:**
1) $28a - 32 \le 7a^2 - 4$
Перенесем все вправо: $0 \le 7a^2 - 28a + 28$.
$0 \le 7(a^2 - 4a + 4)$.
$0 \le 7(a - 2)^2$.
Квадрат всегда неотрицателен, поэтому неравенство верно.
2) $9x^2 - 6xy + 4y^2 \ge 0$
Преобразуем: $(9x^2 - 6xy + y^2) + 3y^2 \ge 0$, значит $(3x - y)^2 + 3y^2 \ge 0$. Сумма квадратов всегда неотрицательна.
3) $3(b - 1) < b(b + 1)$
Раскроем скобки: $3b - 3 < b^2 + b$.
$0 < b^2 - 2b + 3$.
$0 < (b - 1)^2 + 2$.
Квадрат всегда неотрицателен, поэтому $(b - 1)^2 + 2$ всегда больше 0.
4) $(4p - 1)(p + 1) - (p - 3)(p + 3) > 3(p^2 + p)$
Раскроем скобки: $4p^2 + 4p - p - 1 - (p^2 - 9) > 3p^2 + 3p$.
$4p^2 + 3p - 1 - p^2 + 9 > 3p^2 + 3p$.
$3p^2 + 3p + 8 > 3p^2 + 3p$.
$8 > 0$.
Это неравенство верно.
**13. Докажите, что:**
1) $a^3 - 6a^2 + a - 6 \ge 0$, если $a \ge 6$
Преобразуем: $a^2(a - 6) + (a - 6) \ge 0$.
$(a^2 + 1)(a - 6) \ge 0$.
Так как $a \ge 6$, то $(a - 6) \ge 0$, и $(a^2 + 1)$ всегда положительно, поэтому неравенство верно.
2) $ab + 1 > a + b$, если $a > 1$ и $b > 1$
Преобразуем: $ab - a - b + 1 > 0$.
$a(b - 1) - (b - 1) > 0$.
$(a - 1)(b - 1) > 0$.
Так как $a > 1$ и $b > 1$, то $(a - 1) > 0$ и $(b - 1) > 0$, значит, их произведение положительно.
3) $\frac{a + 3}{3} + \frac{3a - 2}{4} < a$, если $a < -6$
Умножим на 12: $4(a + 3) + 3(3a - 2) < 12a$.
$4a + 12 + 9a - 6 < 12a$.
$13a + 6 < 12a$.
$a < -6$.
Это условие дано, значит, неравенство верно.
**14. Докажите, что:**
1) $ab(b - a) \le a^3 - b^3$, если $a \ge b$
Преобразуем: $ab(b - a) \le (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
$ab(b - a) + (b - a)(a^2 + ab + b^2) \le 0$.
$(b - a)(ab + a^2 + ab + b^2) \le 0$.
$(b - a)(a^2 + 2ab + b^2) \le 0$.
$(b - a)(a + b)^2 \le 0$.
Так как $a \ge b$, то $(b - a) \le 0$, и $(a + b)^2$ всегда неотрицательно, значит, произведение неположительно.
2) $\frac{a - 1}{2} - \frac{a - 2}{3} > \frac{1}{2}$, если $a > 2$
Умножим на 6: $3(a - 1) - 2(a - 2) > 3$.
$3a - 3 - 2a + 4 > 3$.
$a + 1 > 3$.
$a > 2$.
Это условие дано, значит, неравенство верно.
Надеюсь, теперь тебе стало понятнее!
