Помоги найти вершины треугольника, если известны середины его сторон: D (-1; 2; 4), Е (5; −2; 1) и F (3; −3; 5)

Давай решим задачу! Предположим, у нас есть треугольник, и точки $D$, $E$ и $F$ - середины его сторон. Наша задача - найти координаты вершин этого треугольника. Обозначим вершины треугольника как $A(x_A, y_A, z_A)$, $B(x_B, y_B, z_B)$ и $C(x_C, y_C, z_C)$. Так как $D$, $E$ и $F$ - середины сторон, мы можем записать следующие уравнения, используя координаты середин отрезков: 1. Точка $D$ - середина стороны $BC$: $$\frac{x_B + x_C}{2} = -1, \quad \frac{y_B + y_C}{2} = 2, \quad \frac{z_B + z_C}{2} = 4$$ 2. Точка $E$ - середина стороны $AC$: $$\frac{x_A + x_C}{2} = 5, \quad \frac{y_A + y_C}{2} = -2, \quad \frac{z_A + z_C}{2} = 1$$ 3. Точка $F$ - середина стороны $AB$: $$\frac{x_A + x_B}{2} = 3, \quad \frac{y_A + y_B}{2} = -3, \quad \frac{z_A + z_B}{2} = 5$$ Теперь у нас есть система уравнений, которую нужно решить. Давай выразим координаты точек через уравнения: * Из первого уравнения выразим $x_C, y_C, z_C$: $$x_B + x_C = -2, \quad y_B + y_C = 4, \quad z_B + z_C = 8$$ * Из второго уравнения выразим $x_C, y_C, z_C$: $$x_A + x_C = 10, \quad y_A + y_C = -4, \quad z_A + z_C = 2$$ * Из третьего уравнения выразим $x_C, y_C, z_C$: $$x_A + x_B = 6, \quad y_A + y_B = -6, \quad z_A + z_B = 10$$ Теперь выразим координаты вершин: 1. Найдем координаты точки $A$: Сложим уравнения для $E$ и $F$: $$\frac{x_A + x_C}{2} + \frac{x_A + x_B}{2} = 5 + 3$$ $$x_A + \frac{x_C + x_B}{2} = 8$$ $$x_A + (-1) = 8 \Rightarrow x_A = 9$$ Аналогично для $y_A$ и $z_A$: $$\frac{y_A + y_C}{2} + \frac{y_A + y_B}{2} = -2 + (-3)$$ $$y_A + \frac{y_C + y_B}{2} = -5$$ $$y_A + 2 = -5 \Rightarrow y_A = -7$$ $$\frac{z_A + z_C}{2} + \frac{z_A + z_B}{2} = 1 + 5$$ $$z_A + \frac{z_C + z_B}{2} = 6$$ $$z_A + 4 = 6 \Rightarrow z_A = 2$$ Итак, $A(9, -7, 2)$. 2. Найдем координаты точки $B$: Используем, что $\frac{x_A + x_B}{2} = 3$, $\frac{y_A + y_B}{2} = -3$ и $\frac{z_A + z_B}{2} = 5$: $$x_B = 2 \cdot 3 - x_A = 6 - 9 = -3$$ $$y_B = 2 \cdot (-3) - y_A = -6 - (-7) = 1$$ $$z_B = 2 \cdot 5 - z_A = 10 - 2 = 8$$ Итак, $B(-3, 1, 8)$. 3. Найдем координаты точки $C$: Используем, что $\frac{x_B + x_C}{2} = -1$, $\frac{y_B + y_C}{2} = 2$ и $\frac{z_B + z_C}{2} = 4$: $$x_C = 2 \cdot (-1) - x_B = -2 - (-3) = 1$$ $$y_C = 2 \cdot 2 - y_B = 4 - 1 = 3$$ $$z_C = 2 \cdot 4 - z_B = 8 - 8 = 0$$ Итак, $C(1, 3, 0)$. **Ответ: Вершины треугольника: $A(9, -7, 2)$, $B(-3, 1, 8)$ и $C(1, 3, 0)$**