Укажи допустимые значения переменной в выражении $\frac{1}{6x-3}$.

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями по порядку. ### Задание 11 Допустимые значения переменной — это те значения, при которых выражение имеет смысл. Например, мы не можем делить на ноль, поэтому знаменатель дроби не должен быть равен нулю. а) $x^2 - 8x + 9$; Здесь нет дробей или корней, так что $x$ может быть любым числом. **Ответ: Любое действительное число** б) $\frac{3x-6}{7}$; Знаменатель равен 7, это не ноль. Значит, $x$ может быть любым числом. **Ответ: Любое действительное число** в) $\frac{x-5}{x^2+25} - 3x$; Здесь знаменатель $x^2+25$ всегда будет больше нуля, потому что $x^2$ всегда неотрицательное число, и к нему прибавляется 25. Поэтому он никогда не равен нулю. $x$ может быть любым числом. **Ответ: Любое действительное число** г) $\frac{1}{6x-3}$; Знаменатель не должен быть равен нулю: $6x - 3 \neq 0$. Решим это неравенство: $$6x \neq 3$$ $$x \neq \frac{3}{6}$$ $$x \neq \frac{1}{2}$$ Значит, $x$ может быть любым числом, кроме $\frac{1}{2}$. **Ответ: Все $x \neq \frac{1}{2}$** д) $\frac{x^2-8}{4x(x+1)}$; Здесь знаменатель $4x(x+1)$ не должен быть равен нулю. Это значит, что ни $4x$, ни $(x+1)$ не должны быть равны нулю. Если $4x \neq 0$, то $x \neq 0$. Если $x+1 \neq 0$, то $x \neq -1$. Значит, $x$ может быть любым числом, кроме $0$ и $-1$. **Ответ: Все $x \neq 0$ и $x \neq -1$** е) $\frac{x}{x+8} + \frac{x-8}{x}$; Здесь у нас две дроби. Знаменатель первой дроби $x+8$ не должен быть равен нулю, и знаменатель второй дроби $x$ не должен быть равен нулю. Если $x+8 \neq 0$, то $x \neq -8$. Если $x \neq 0$. Значит, $x$ может быть любым числом, кроме $0$ и $-8$. **Ответ: Все $x \neq 0$ и $x \neq -8$** ### Задание 12 Как и в предыдущем задании, находим значения переменной, при которых знаменатели не равны нулю. а) $\frac{5y-8}{11}$; Знаменатель 11, не ноль. $y$ может быть любым числом. **Ответ: Любое действительное число** б) $\frac{y^2+1}{y^2-2y}$; Знаменатель $y^2-2y$ не должен быть равен нулю. Вынесем $y$ за скобки: $y(y-2) \neq 0$. Это значит, что $y \neq 0$ и $y-2 \neq 0$, то есть $y \neq 2$. Значит, $y$ может быть любым числом, кроме $0$ и $2$. **Ответ: Все $y \neq 0$ и $y \neq 2$** в) $\frac{y}{y-6} + \frac{15}{y+6}$; Здесь два знаменателя: $y-6$ и $y+6$. Ни один из них не должен быть равен нулю. Если $y-6 \neq 0$, то $y \neq 6$. Если $y+6 \neq 0$, то $y \neq -6$. Значит, $y$ может быть любым числом, кроме $6$ и $-6$. **Ответ: Все $y \neq 6$ и $y \neq -6$** г) $\frac{25}{y-9}$; Знаменатель $y-9$ не должен быть равен нулю. $y-9 \neq 0$, значит $y \neq 9$. Значит, $y$ может быть любым числом, кроме $9$. **Ответ: Все $y \neq 9$** д) $\frac{y-10}{y^2+3}$; Знаменатель $y^2+3$ всегда больше нуля ($y^2$ неотрицательное, плюс 3). Он никогда не равен нулю. $y$ может быть любым числом. **Ответ: Любое действительное число** е) $\frac{32}{y} - \frac{y+1}{y+7}$; Здесь два знаменателя: $y$ и $y+7$. Ни один из них не должен быть равен нулю. Если $y \neq 0$. Если $y+7 \neq 0$, то $y \neq -7$. Значит, $y$ может быть любым числом, кроме $0$ и $-7$. **Ответ: Все $y \neq 0$ и $y \neq -7$** ### Задание 13 Область определения функции — это все значения $x$, при которых функция имеет смысл (то же, что и допустимые значения переменной). а) $y = \frac{1}{x-2}$; Знаменатель $x-2$ не должен быть равен нулю. $x-2 \neq 0$, значит $x \neq 2$. **Ответ: Все $x \neq 2$** б) $y = \frac{2x+3}{x(x+1)}$; Знаменатель $x(x+1)$ не должен быть равен нулю. Значит, $x \neq 0$ и $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$. **Ответ: Все $x \neq 0$ и $x \neq -1$** в) $y = x + \frac{1}{x+5}$; Знаменатель $x+5$ не должен быть равен нулю. $x+5 \neq 0$, значит $x \neq -5$. **Ответ: Все $x \neq -5$** ### Задание 14 Нам нужно найти, при каком значении переменной дробь $\frac{x-3}{5}$ будет равна заданным числам. Чтобы дробь была равна, например, 1, мы записываем уравнение: $\frac{x-3}{5} = 1$. Умножаем обе части на 5, чтобы избавиться от знаменателя: $x-3 = 1 \cdot 5$, то есть $x-3 = 5$. Теперь прибавим 3 к обеим частям: $x = 5+3$, то есть $x = 8$. а) $\frac{x-3}{5} = 1$ $x-3 = 5$ $x = 8$ **Ответ: 8** б) $\frac{x-3}{5} = 0$ Чтобы дробь была равна нулю, её числитель должен быть равен нулю (а знаменатель не равен нулю, но у нас 5, так что всё в порядке). $x-3 = 0$ $x = 3$ **Ответ: 3** в) $\frac{x-3}{5} = -1$ $x-3 = -1 \cdot 5$ $x-3 = -5$ $x = -5 + 3$ $x = -2$ **Ответ: -2** г) $\frac{x-3}{5} = 3$ $x-3 = 3 \cdot 5$ $x-3 = 15$ $x = 15 + 3$ $x = 18$ **Ответ: 18** ### Задание 15 Чтобы значение дроби было равно нулю, её числитель должен быть равен нулю (а знаменатель при этом не равен нулю). а) $\frac{y-5}{8}$; Числитель $y-5$ должен быть равен нулю. $y-5 = 0$, значит $y = 5$. **Ответ: 5** б) $\frac{2y+3}{10}$; Числитель $2y+3$ должен быть равен нулю. $2y+3 = 0$, значит $2y = -3$, и $y = -\frac{3}{2}$. **Ответ: $-\frac{3}{2}$** в) $\frac{x(x-1)}{x+4}$; Числитель $x(x-1)$ должен быть равен нулю. Это значит, что либо $x=0$, либо $x-1=0$ (то есть $x=1$). При этом знаменатель $x+4$ не должен быть равен нулю (то есть $x \neq -4$). Оба значения $0$ и $1$ подходят. **Ответ: 0 или 1** г) $\frac{x(x+3)?}{2x+6}$; (Думаю, там опечатка и имеется в виду $\frac{x(x+3)}{2x+6}$). Числитель $x(x+3)$ должен быть равен нулю. Это значит, что либо $x=0$, либо $x+3=0$ (то есть $x=-3$). При этом знаменатель $2x+6$ не должен быть равен нулю. $2x+6 \neq 0$, значит $2x \neq -6$, и $x \neq -3$. Так как $x$ не может быть равен $-3$, остаётся только $x=0$. **Ответ: 0** ### Задание 16 Здесь тоже нужно, чтобы значение дроби было равно нулю, поэтому числитель должен быть равен нулю (и знаменатель не равен нулю). а) $\frac{m+4}{6}$; Числитель $m+4 = 0$, значит $m = -4$. **Ответ: -4** б) $\frac{7-5n}{11}$; Числитель $7-5n = 0$, значит $7 = 5n$, и $n = \frac{7}{5}$. **Ответ: $\frac{7}{5}$** в) $\frac{b^2-b}{b+2}$; Числитель $b^2-b = 0$. Вынесем $b$ за скобки: $b(b-1) = 0$. Это значит, что либо $b=0$, либо $b-1=0$ (то есть $b=1$). Знаменатель $b+2 \neq 0$, значит $b \neq -2$. Оба значения $0$ и $1$ подходят. **Ответ: 0 или 1** г) $\frac{y^2-25}{3y-15}$; Числитель $y^2-25 = 0$. Это разность квадратов: $(y-5)(y+5) = 0$. Значит, $y-5=0$ (то есть $y=5$) или $y+5=0$ (то есть $y=-5$). Знаменатель $3y-15 \neq 0$. $3y \neq 15$, значит $y \neq 5$. Так как $y$ не может быть равен $5$, остаётся только $y=-5$. **Ответ: -5** ### Задание 17 Нужно определить знак дроби $\frac{a}{b}$ в зависимости от знаков $a$ и $b$. Вспомни правило: при делении чисел с одинаковыми знаками результат положительный, а с разными знаками — отрицательный. а) $a > 0$ и $b > 0$; Оба числа положительные. $\frac{\text{положительное}}{\text{положительное}} = \text{положительное}$. **Ответ: Дробь $\frac{a}{b}$ положительная.** б) $a > 0$ и $b < 0$; $a$ положительное, $b$ отрицательное. $\frac{\text{положительное}}{\text{отрицательное}} = \text{отрицательное}$. **Ответ: Дробь $\frac{a}{b}$ отрицательная.** в) $a < 0$ и $b > 0$; $a$ отрицательное, $b$ положительное. $\frac{\text{отрицательное}}{\text{положительное}} = \text{отрицательное}$. **Ответ: Дробь $\frac{a}{b}$ отрицательная.** г) $a < 0$ и $b < 0$; Оба числа отрицательные. $\frac{\text{отрицательное}}{\text{отрицательное}} = \text{положительное}$. **Ответ: Дробь $\frac{a}{b}$ положительная.** ### Задание 18 Докажем, что дроби имеют указанный знак при любом значении переменной. а) $\frac{3}{x^2+1}$ положительно; Числитель 3 — положительное число. Знаменатель $x^2+1$: $x^2$ всегда неотрицательное число ($x^2 \geq 0$), а значит $x^2+1$ всегда положительное число ($x^2+1 \geq 1$). Дробь, у которой и числитель, и знаменатель положительны, всегда положительна. Это верно для любых значений $x$. **Доказано.** б) $\frac{(a-1)^2}{a^2+10}$ неотрицательно; Числитель $(a-1)^2$: квадрат любого числа (кроме 0) положителен, а квадрат 0 равен 0. Так что $(a-1)^2 \geq 0$. Знаменатель $a^2+10$: $a^2$ всегда неотрицательное ($a^2 \geq 0$), значит $a^2+10$ всегда положительное число ($a^2+10 \geq 10$). Дробь, у которой числитель неотрицательный, а знаменатель положительный, будет неотрицательной. Это верно для любых значений $a$. **Доказано.** в) $\frac{-5}{y^2+4}$ отрицательно; Числитель -5 — отрицательное число. Знаменатель $y^2+4$: $y^2$ всегда неотрицательное ($y^2 \geq 0$), значит $y^2+4$ всегда положительное число ($y^2+4 \geq 4$). Дробь, у которой числитель отрицательный, а знаменатель положительный, всегда отрицательна. Это верно для любых значений $y$. **Доказано.** г) $\frac{(b-3)^2}{-b^2-1}$ неположительно. Числитель $(b-3)^2$: квадрат любого числа (кроме 0) положителен, а квадрат 0 равен 0. Так что $(b-3)^2 \geq 0$. Знаменатель $-b^2-1$: $b^2$ всегда неотрицательное ($b^2 \geq 0$), значит $-b^2$ всегда неположительное ($-b^2 \leq 0$). Тогда $-b^2-1$ всегда отрицательное число (например, если $b=0$, то $-1$; если $b=1$, то $-1-1=-2$). Дробь, у которой числитель неотрицательный, а знаменатель отрицательный, будет либо отрицательной, либо равной нулю (если числитель равен нулю). То есть она будет неположительной. Это верно для любых значений $b$. **Доказано.** ### Задание 19 Чтобы найти наибольшее значение дроби, мы должны сделать её знаменатель наименьшим, потому что чем меньше знаменатель (при положительном числителе), тем больше значение дроби. а) $\frac{4}{a^2+5}$; Числитель 4 положительный. Знаменатель $a^2+5$. Мы знаем, что $a^2 \geq 0$ (квадрат числа всегда неотрицательный). Значит, наименьшее значение $a^2$ равно 0 (когда $a=0$). Тогда наименьшее значение знаменателя $a^2+5$ будет $0+5=5$. Наибольшее значение дроби будет при $a=0$: $\frac{4}{0^2+5} = \frac{4}{5}$. **Ответ: $\frac{4}{5}$** б) $\frac{10}{(a-3)^2+1}$; Числитель 10 положительный. Знаменатель $(a-3)^2+1$. Выражение $(a-3)^2$ всегда неотрицательное, и его наименьшее значение равно 0, когда $a-3=0$, то есть $a=3$. Тогда наименьшее значение знаменателя $(a-3)^2+1$ будет $0+1=1$. Наибольшее значение дроби будет при $a=3$: $\frac{10}{(3-3)^2+1} = \frac{10}{0^2+1} = \frac{10}{1} = 10$. **Ответ: 10**