Упрости и найди значение выражения: a) $\frac{4}{7}x + \frac{5}{14}x$ при $x = 5\frac{1}{4}$

Привет! Давай вместе упростим выражения и найдём их значения. а) Чтобы сложить дроби $\frac{4}{7}x + \frac{5}{14}x$, нам нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 7 и 14 — это 14. $$\frac{4}{7}x + \frac{5}{14}x = \frac{4 \cdot 2}{7 \cdot 2}x + \frac{5}{14}x = \frac{8}{14}x + \frac{5}{14}x = \frac{8+5}{14}x = \frac{13}{14}x$$ Теперь подставим $x = 5\frac{1}{4}$. Сначала переведём смешанное число в неправильную дробь: $5\frac{1}{4} = \frac{5 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{20+1}{4} = \frac{21}{4}$. $$\frac{13}{14} \cdot \frac{21}{4} = \frac{13 \cdot 21}{14 \cdot 4}$$ Мы можем сократить 21 и 14 на 7: $21 \div 7 = 3$, $14 \div 7 = 2$. $$\frac{13 \cdot 3}{2 \cdot 4} = \frac{39}{8}$$ Теперь переведём неправильную дробь в смешанное число: $\frac{39}{8} = 4\frac{7}{8}$. **Ответ: $4\frac{7}{8}$** б) Упростим выражение $\frac{5}{16}y + y - \frac{3}{8}y$. Заметим, что $y$ это то же самое, что $\frac{16}{16}y$. $$\frac{5}{16}y + \frac{16}{16}y - \frac{3}{8}y$$ Приведём все дроби к общему знаменателю 16. $$\frac{5}{16}y + \frac{16}{16}y - \frac{3 \cdot 2}{8 \cdot 2}y = \frac{5}{16}y + \frac{16}{16}y - \frac{6}{16}y = \frac{5+16-6}{16}y = \frac{15}{16}y$$ Теперь подставим $y = 1\frac{1}{15}$. Переведём смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{15} = \frac{1 \cdot 15 + 1}{15} = \frac{16}{15}$. $$\frac{15}{16} \cdot \frac{16}{15}$$ Мы можем сократить 15 и 15, а также 16 и 16. $$\frac{15 \div 15}{16 \div 16} \cdot \frac{16 \div 16}{15 \div 15} = 1 \cdot 1 = 1$$ **Ответ: 1** в) Упростим выражение $\frac{17}{42}c - \frac{2}{7}c + \frac{7}{18}c$. Найдем общий знаменатель для 42, 7 и 18. Разложим знаменатели на простые множители: $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$ $7 = 7$ $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$ Общий знаменатель будет $2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 = 126$. Теперь приведем дроби к общему знаменателю 126: $$\frac{17}{42}c = \frac{17 \cdot 3}{42 \cdot 3}c = \frac{51}{126}c$$ $$\frac{2}{7}c = \frac{2 \cdot 18}{7 \cdot 18}c = \frac{36}{126}c$$ $$\frac{7}{18}c = \frac{7 \cdot 7}{18 \cdot 7}c = \frac{49}{126}c$$ Теперь сложим и вычтем: $$\frac{51}{126}c - \frac{36}{126}c + \frac{49}{126}c = \frac{51 - 36 + 49}{126}c = \frac{15 + 49}{126}c = \frac{64}{126}c$$ Дробь $\frac{64}{126}$ можно сократить на 2: $\frac{64 \div 2}{126 \div 2} = \frac{32}{63}$. Итак, упрощенное выражение: $\frac{32}{63}c$. Теперь подставим $c = 3\frac{1}{2}$. Переведём смешанное число в неправильную дробь: $3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$. $$\frac{32}{63} \cdot \frac{7}{2}$$ Мы можем сократить 32 и 2 на 2, а 63 и 7 на 7. $$\frac{32 \div 2}{63 \div 7} \cdot \frac{7 \div 7}{2 \div 2} = \frac{16}{9} \cdot \frac{1}{1} = \frac{16}{9}$$ Теперь переведём неправильную дробь в смешанное число: $\frac{16}{9} = 1\frac{7}{9}$. **Ответ: $1\frac{7}{9}$** г) Упростим выражение $\frac{3}{4}n + \frac{2}{3}n - \frac{4}{18}n$. Сначала сократим дробь $\frac{4}{18}$: $\frac{4 \div 2}{18 \div 2} = \frac{2}{9}$. Теперь у нас выражение: $\frac{3}{4}n + \frac{2}{3}n - \frac{2}{9}n$. Найдем общий знаменатель для 4, 3 и 9. Разложим знаменатели на простые множители: $4 = 2 \cdot 2$ $3 = 3$ $9 = 3 \cdot 3$ Общий знаменатель будет $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 36$. Приведем дроби к общему знаменателю 36: $$\frac{3}{4}n = \frac{3 \cdot 9}{4 \cdot 9}n = \frac{27}{36}n$$ $$\frac{2}{3}n = \frac{2 \cdot 12}{3 \cdot 12}n = \frac{24}{36}n$$ $$\frac{2}{9}n = \frac{2 \cdot 4}{9 \cdot 4}n = \frac{8}{36}n$$ Теперь сложим и вычтем: $$\frac{27}{36}n + \frac{24}{36}n - \frac{8}{36}n = \frac{27 + 24 - 8}{36}n = \frac{51 - 8}{36}n = \frac{43}{36}n$$ Итак, упрощенное выражение: $\frac{43}{36}n$. Теперь подставим $n = 1\frac{13}{23}$. Переведём смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{13}{23} = \frac{1 \cdot 23 + 13}{23} = \frac{23+13}{23} = \frac{36}{23}$. $$\frac{43}{36} \cdot \frac{36}{23}$$ Мы можем сократить 36 и 36. $$\frac{43}{1} \cdot \frac{1}{23} = \frac{43}{23}$$ Теперь переведём неправильную дробь в смешанное число: $\frac{43}{23} = 1\frac{20}{23}$. **Ответ: $1\frac{20}{23}$**