ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков вопросы - стр.86

1. **Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии и её доказательство** Формулы суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии $(a_n)$: $$ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n $$ или через первый член $a_1$ и разность $d$: $$ S_n = \frac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n $$ **Доказательство:** Запишем сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии двумя способами: в порядке возрастания номеров и в обратном порядке: $$ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_{n-1} + a_n $$ $$ S_n = a_n + a_{n-1} + a_{n-2} + \dots + a_2 + a_1 $$ Сложим почленно эти два равенства: $$ 2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + (a_3 + a_{n-2}) + \dots + (a_n + a_1) $$ Используя свойство арифметической прогрессии, выразим члены через $a_1$ и разность $d$: $$ a_k + a_{n-k+1} = (a_1 + (k - 1)d) + (a_1 + (n - k)d) = 2a_1 + (n - 1)d = a_1 + a_n $$ Следовательно, каждая из $n$ пар слагаемых в скобках равна $(a_1 + a_n)$: $$ 2S_n = (a_1 + a_n) \cdot n $$ Разделив обе части равенства на 2, получаем: $$ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n $$ Подставив в эту формулу выражение для $n$-го члена $a_n = a_1 + (n - 1)d$, получаем вторую формулу: $$ S_n = \frac{a_1 + a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n = \frac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n $$ Формула доказана. --- 2. **Формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии и её доказательство** Формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии $(b_n)$ со знаменателем $q \neq 1$: $$ S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} \quad \left(\text{или } S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}\right) $$ *(Если $q = 1$, то все члены равны $b_1$, и сумма равна $S_n = n \cdot b_1$)*. **Доказательство:** Запишем сумму первых $n$ членов геометрической прогрессии, выразив каждый член через $b_1$ и $q$: $$ S_n = b_1 + b_1 q + b_1 q^2 + \dots + b_1 q^{n-2} + b_1 q^{n-1} $$ Умножим обе части равенства на знаменатель прогрессии $q$: $$ q \cdot S_n = b_1 q + b_1 q^2 + b_1 q^3 + \dots + b_1 q^{n-1} + b_1 q^n $$ Вычтем из второго равенства первое: $$ q \cdot S_n - S_n = (b_1 q + b_1 q^2 + \dots + b_1 q^n) - (b_1 + b_1 q + \dots + b_1 q^{n-1}) $$ Все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются, и остаётся: $$ S_n(q - 1) = b_1 q^n - b_1 $$ Вынесем $b_1$ за скобки в правой части: $$ S_n(q - 1) = b_1(q^n - 1) $$ Так как $q \neq 1$, разделим обе части равенства на $(q - 1)$: $$ S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} $$ Формула доказана.