ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков вопросы - стр.115

**1.** Рассмотрим декартову систему координат и окружность радиуса $R$ с центром в начале координат $O(0; 0)$. Пусть луч, совпадающий с положительной полуосью $Ox$, при повороте вокруг точки $O$ на угол $\alpha$ переходит в луч $OM$, где $M(x; y)$ — точка пересечения луча с окружностью. * **Синусом** угла $\alpha$ называется отношение ординаты точки $M$ к радиусу $R$: $$\sin \alpha = \frac{y}{R}$$ * **Косинусом** угла $\alpha$ называется отношение абсциссы точки $M$ к радиусу $R$: $$\cos \alpha = \frac{x}{R}$$ * **Тангенсом** угла $\alpha$ называется отношение ординаты точки $M$ к её абсциссе (при $x \neq 0$): $$\operatorname{tg} \alpha = \frac{y}{x}$$ * **Котангенсом** угла $\alpha$ называется отношение абсциссы точки $M$ к её ординате (при $y \neq 0$): $$\operatorname{ctg} \alpha = \frac{x}{y}$$ *(В частности, если окружность единичная, то есть $R = 1$, то $\sin \alpha = y$, $\cos \alpha = x$).* --- **2.** Пусть построены две концентрические окружности с центром в точке $O$ радиусов $R_1$ и $R_2$ ($R_1 \neq R_2$). Подвижный луч, образующий угол $\alpha$ с положительным направлением оси $Ox$, пересекает первую окружность в точке $M_1(x_1; y_1)$, а вторую — в точке $M_2(x_2; y_2)$. Опустим из точек $M_1$ и $M_2$ перпендикуляры $M_1 K_1$ и $M_2 K_2$ на ось $Ox$. Прямоугольные треугольники $\triangle OM_1 K_1$ и $\triangle OM_2 K_2$ подобны по общему острому углу. Поскольку точки $M_1$ и $M_2$ лежат на одном и том же луче, знаки их координат совпадают, а длины отрезков пропорциональны: $$\frac{x_2}{x_1} = \frac{y_2}{y_1} = \frac{R_2}{R_1} = k$$ Отсюда выразим координаты: $x_2 = k \cdot x_1$, $y_2 = k \cdot y_1$, $R_2 = k \cdot R_1$. Подставим эти соотношения в определения тригонометрических функций для второй окружности: $$\sin \alpha = \frac{y_2}{R_2} = \frac{k \cdot y_1}{k \cdot R_1} = \frac{y_1}{R_1}$$ $$\cos \alpha = \frac{x_2}{R_2} = \frac{k \cdot x_1}{k \cdot R_1} = \frac{x_1}{R_1}$$ $$\operatorname{tg} \alpha = \frac{y_2}{x_2} = \frac{k \cdot y_1}{k \cdot x_1} = \frac{y_1}{x_1}$$ $$\operatorname{ctg} \alpha = \frac{x_2}{y_2} = \frac{k \cdot x_1}{k \cdot y_1} = \frac{x_1}{y_1}$$ Значения отношений не изменились. Следовательно, значения тригонометрических функций зависят только от угла $\alpha$ и не зависят от радиуса тригонометрической окружности. --- **3.** **Основное тригонометрическое тождество:** $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$ **Доказательство:** Пусть точка $M(x; y)$ получена поворотом начального луча на угол $\alpha$ и лежит на окружности радиуса $R$ с центром в начале координат $O(0; 0)$. Уравнение окружности радиуса $R$ с центром в начале координат имеет вид: $$x^2 + y^2 = R^2$$ Разделим обе части равенства на $R^2$ (так как $R > 0$): $$\frac{x^2}{R^2} + \frac{y^2}{R^2} = 1$$ $$\left(\frac{x}{R}\right)^2 + \left(\frac{y}{R}\right)^2 = 1$$ По определению косинуса и синуса для любого угла $\alpha$: $\frac{x}{R} = \cos \alpha$, а $\frac{y}{R} = \sin \alpha$. Подставим эти выражения в полученное равенство: $$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$$ или: $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$ Тождество доказано.