ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 6 - 6.79

Пусть три числа, образующие геометрическую прогрессию, равны $b_1$, $b_2$, $b_3$. Так как по условию первое число равно $1$, то при знаменателе прогрессии $q$ ($q \neq 0$) искомые числа имеют вид: $$ b_1 = 1, \quad b_2 = q, \quad b_3 = q^2 $$ По условию, одно из этих чисел удваивают, и полученные числа в том же порядке образуют арифметическую прогрессию. По характеристическому свойству арифметической прогрессии удвоенный средний член равен сумме крайних членов. Рассмотрим три возможных случая: **1 случай: удвоили первое число.** Получаем последовательность чисел: $2$, $q$, $q^2$. Составим уравнение: $$ 2q = 2 + q^2 $$ $$ q^2 - 2q + 2 = 0 $$ Найдем дискриминант: $$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4 < 0 $$ Уравнение не имеет действительных корней. --- **2 случай: удвоили третье число.** Получаем последовательность чисел: $1$, $q$, $2q^2$. Составим уравнение: $$ 2q = 1 + 2q^2 $$ $$ 2q^2 - 2q + 1 = 0 $$ Найдем дискриминант: $$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 4 - 8 = -4 < 0 $$ Уравнение не имеет действительных корней. --- **3 случай: удвоили второе число.** Получаем последовательность чисел: $1$, $2q$, $q^2$. Составим уравнение: $$ 2 \cdot (2q) = 1 + q^2 $$ $$ 4q = 1 + q^2 $$ $$ q^2 - 4q + 1 = 0 $$ Найдем корни уравнения через дискриминант: $$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12 $$ $$ q = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3} $$ Найдем искомые числа для каждого значения $q$: 1) Если $q = 2 + \sqrt{3}$: $$ b_1 = 1 $$ $$ b_2 = 2 + \sqrt{3} $$ $$ b_3 = (2 + \sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3} $$ 2) Если $q = 2 - \sqrt{3}$: $$ b_1 = 1 $$ $$ b_2 = 2 - \sqrt{3} $$ $$ b_3 = (2 - \sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3} $$ Ответ: $1$, $2 + \sqrt{3}$, $7 + 4\sqrt{3}$ или $1$, $2 - \sqrt{3}$, $7 - 4\sqrt{3}$.