ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 6 - 6.81

**1)** Дано: $\sin \alpha = -\frac{3}{5}$, $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ (III четверть). В III четверти: $\cos \alpha < 0$, $\tan \alpha > 0$, $\cot \alpha > 0$. Используем основное тригонометрическое тождество: $$ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \implies \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha $$ $$ \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} $$ Так как $\alpha$ лежит в III четверти, косинус отрицателен: $$ \cos \alpha = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5} $$ Находим тангенс и котангенс: $$ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = \frac{3}{4} $$ $$ \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{4}{3} $$ **Ответ:** $\cos \alpha = -\frac{4}{5}$, $\tan \alpha = \frac{3}{4}$, $\cot \alpha = \frac{4}{3}$. --- **2)** Дано: $\cos \alpha = -\frac{12}{13}$, $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ (II четверть). Во II четверти: $\sin \alpha > 0$, $\tan \alpha < 0$, $\cot \alpha < 0$. Находим $\sin \alpha$: $$ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169} $$ Так как $\alpha$ лежит во II четверти, синус положителен: $$ \sin \alpha = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13} $$ Находим тангенс и котангенс: $$ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{5}{13}}{-\frac{12}{13}} = -\frac{5}{12} $$ $$ \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = -\frac{12}{5} $$ **Ответ:** $\sin \alpha = \frac{5}{13}$, $\tan \alpha = -\frac{5}{12}$, $\cot \alpha = -\frac{12}{5}$. --- **3)** Дано: $\tan \alpha = 2\sqrt{2}$, $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ (I четверть). В I четверти все тригонометрические функции положительны. Находим котангенс: $$ \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} $$ Используем формулу связи тангенса и косинуса: $$ 1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $$ $$ \frac{1}{\cos^2 \alpha} = 1 + (2\sqrt{2})^2 = 1 + 8 = 9 \implies \cos^2 \alpha = \frac{1}{9} $$ Так как $\alpha$ лежит в I четверти, $\cos \alpha > 0$: $$ \cos \alpha = \frac{1}{3} $$ Находим синус: $$ \sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha = 2\sqrt{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3} $$ **Ответ:** $\sin \alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}$, $\cos \alpha = \frac{1}{3}$, $\cot \alpha = \frac{\sqrt{2}}{4}$. --- **4)** Дано: $\cot \alpha = -2\sqrt{6}$, $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$ (IV четверть). В IV четверти: $\sin \alpha < 0$, $\cos \alpha > 0$, $\tan \alpha < 0$. Находим тангенс: $$ \tan \alpha = \frac{1}{\cot \alpha} = \frac{1}{-2\sqrt{6}} = -\frac{\sqrt{6}}{12} $$ Используем формулу связи котангенса и синуса: $$ 1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} $$ $$ \frac{1}{\sin^2 \alpha} = 1 + (-2\sqrt{6})^2 = 1 + 24 = 25 \implies \sin^2 \alpha = \frac{1}{25} $$ Так как $\alpha$ лежит в IV четверти, синус отрицателен: $$ \sin \alpha = -\frac{1}{5} $$ Находим косинус: $$ \cos \alpha = \cot \alpha \cdot \sin \alpha = -2\sqrt{6} \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) = \frac{2\sqrt{6}}{5} $$ **Ответ:** $\sin \alpha = -\frac{1}{5}$, $\cos \alpha = \frac{2\sqrt{6}}{5}$, $\tan \alpha = -\frac{\sqrt{6}}{12}$.