ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 6 - 6.62

### 1) $y = |x - 1| + |x|$ **Исследование функции:** 1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. 2. Нули подмодульных выражений: $x - 1 = 0 \implies x = 1$ и $x = 0$. Они делят числовую прямую на три промежутка: $(-\infty; 0)$, $[0; 1]$ и $(1; +\infty)$. 3. Раскроем модули на каждом промежутке: * При $x < 0$: $$ y = -(x - 1) - x = 1 - x - x = -2x + 1 $$ * При $0 \le x \le 1$: $$ y = -(x - 1) + x = 1 - x + x = 1 $$ * При $x > 1$: $$ y = (x - 1) + x = 2x - 1 $$ Таким образом: $$ y = \begin{cases} -2x + 1, & \text{если } x < 0, \\ 1, & \text{если } 0 \le x \le 1, \\ 2x - 1, & \text{если } x > 1. \end{cases} $$ 4. Функция убывает на $(-\infty; 0]$, постоянна на $[0; 1]$ и возрастает на $[1; +\infty)$. 5. Наименьшее значение функции равно $1$, значит, область значений: $E(y) = [1; +\infty)$. 6. Пересечение с осью $Oy$: при $x = 0 \implies y = 1$, точка $(0; 1)$. С осью $Ox$ график не пересекается ($y \ge 1 > 0$). **Построение графика:** * Луч прямой $y = -2x + 1$ при $x \le 0$ (точки: $(-1; 3)$, $(0; 1)$); * Горизонтальный отрезок $y = 1$ от точки $(0; 1)$ до точки $(1; 1)$; * Луч прямой $y = 2x - 1$ при $x \ge 1$ (точки: $(1; 1)$, $(2; 3)$). --- ### 2) $y = \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1}$ **Исследование функции:** 1. Знаменатель не может быть равен нулю: $x - 1 \ne 0 \implies x \ne 1$. Область определения: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$. 2. Разложим числитель на множители: $$ x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) $$ 3. Упростим выражение для $x \ne 1$: $$ y = \frac{(x - 1)(x - 2)}{x - 1} = x - 2 $$ 4. Графиком функции является прямая $y = x - 2$ с «выколотой» точкой при $x = 1$. Координаты выколотой точки: при $x = 1 \implies y = 1 - 2 = -1$, то есть $(1; -1)$. 5. Область значений: $E(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$. 6. Точки пересечения с осями: * С осью $Ox$: $y = 0 \implies x - 2 = 0 \implies x = 2$, точка $(2; 0)$; * С осью $Oy$: $x = 0 \implies y = -2$, точка $(0; -2)$. **Построение графика:** * Проводим прямую через точки $(0; -2)$ и $(2; 0)$; * Отмечаем на прямой пустую (выколотую) точку с координатами $(1; -1)$. --- ### 3) $y = x^2 - 6x + 3$ **Исследование функции:** 1. Квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены вверх ($a = 1 > 0$). 2. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. 3. Координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$: $$ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3 $$ $$ y_0 = y(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 3 = 9 - 18 + 3 = -6 $$ Вершина параболы: $(3; -6)$. 4. Ось симметрии параболы: прямая $x = 3$. 5. Область значений: $E(y) = [-6; +\infty)$. 6. Промежутки монотонности: функция убывает на $(-\infty; 3]$ и возрастает на $[3; +\infty)$. 7. Точки пересечения с осями: * С осью $Oy$: при $x = 0 \implies y = 3$, точка $(0; 3)$. Симметричная ей точка: $(6; 3)$; * С осью $Ox$ ($y = 0$): $$ x^2 - 6x + 3 = 0 $$ $$ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 36 - 12 = 24 $$ $$ x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{2} = 3 \pm \sqrt{6} $$ Точки пересечения: $(3 - \sqrt{6}; 0) \approx (0{,}55; 0)$ и $(3 + \sqrt{6}; 0) \approx (5{,}45; 0)$. **Построение графика:** * Отмечаем вершину $(3; -6)$ и ось симметрии $x = 3$; * Наносим точки: $(1; -2)$, $(2; -5)$, $(4; -5)$, $(5; -2)$, а также точки пересечения $(0; 3)$ и $(6; 3)$; * Соединяем точки плавной параболической линией. --- ### 4) $y = |x^2 - 6x + 3|$ **Исследование функции:** 1. Функция получена взятием модуля от функции п. 3: $y = |f(x)|$. 2. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. 3. Область значений: модуль принимает только неотрицательные значения, поэтому $E(y) = [0; +\infty)$. 4. Нули функции совпадают с нулями выражения под модулем: $$ x_1 = 3 - \sqrt{6} \approx 0{,}55, \quad x_2 = 3 + \sqrt{6} \approx 5{,}45 $$ 5. Правило построения: * На промежутках $(-\infty; 3 - \sqrt{6}]$ и $[3 + \sqrt{6}; +\infty)$, где $x^2 - 6x + 3 \ge 0$, график совпадает с параболой $y = x^2 - 6x + 3$; * На интервале $(3 - \sqrt{6}; 3 + \sqrt{6})$, где $x^2 - 6x + 3 < 0$, часть параболы зеркально отображается вверх относительно оси $Ox$. Вершина параболы переходит из точки $(3; -6)$ в точку $(3; 6)$. 6. Пересечение с осью $Oy$: точка $(0; 3)$. **Построение графика:** * Оставляем без изменений участки параболы п. 3, расположенные выше или на оси $Ox$; * Участок параболы между нулями $x \approx 0{,}55$ и $x \approx 5{,}45$ отображаем вверх симметрично оси $Ox$ с вершиной в точке $(3; 6)$. --- ### 5) $y = x^2 - 6|x| + 3$ **Исследование функции:** 1. Так как $x^2 = |x|^2$, функцию можно записать в виде $y = |x|^2 - 6|x| + 3 = f(|x|)$. 2. Функция четная: $y(-x) = (-x)^2 - 6|-x| + 3 = x^2 - 6|x| + 3 = y(x)$. График симметричен относительно оси ординат $Oy$. 3. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. 4. Раскрытие модуля: * При $x \ge 0$: $y = x^2 - 6x + 3$ (парабола из п. 3 с вершиной в $(3; -6)$); * При $x < 0$: $y = x^2 + 6x + 3$ (парабола с вершиной в $(-3; -6)$). 5. Область значений: $E(y) = [-6; +\infty)$. 6. Точки пересечения с осями: * С осью $Oy$: $x = 0 \implies y = 3$, точка $(0; 3)$; * С осью $Ox$ ($y = 0$): $$ |x| = 3 \pm \sqrt{6} $$ Так как $3 - \sqrt{6} \approx 0{,}55 > 0$ и $3 + \sqrt{6} \approx 5{,}45 > 0$, функция имеет 4 нуля: $$ x = \pm (3 - \sqrt{6}) \approx \pm 0{,}55, \quad x = \pm (3 + \sqrt{6}) \approx \pm 5{,}45 $$ **Построение графика:** * Строим график $y = x^2 - 6x + 3$ только для $x \ge 0$ (вершина $(3; -6)$, пересечение с $Oy$ в $(0; 3)$); * Отображаем построенную правую часть симметрично относительно оси $Oy$ влево (получаем вторую вершину в $(-3; -6)$). В точке $(0; 3)$ график образует «излом». --- ### 6) $y = |x^2 - 6|x| + 3|$ **Исследование функции:** 1. Функция получена взятием модуля от функции п. 5: $y = |g(x)|$, где $g(x) = x^2 - 6|x| + 3$. 2. Функция четная, график симметричен относительно оси $Oy$. 3. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. 4. Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$. 5. Нули функции (точки касания оси $Ox$): $$ x = \pm (3 - \sqrt{6}) \approx \pm 0{,}55, \quad x = \pm (3 + \sqrt{6}) \approx \pm 5{,}45 $$ 6. Правило построения: * Берем график из п. 5; * Части графика, лежащие на оси $Ox$ и выше неё, оставляем без изменений; * Части графика, лежащие ниже оси $Ox$ (на интервалах $(-3-\sqrt{6}; -3+\sqrt{6})$ и $(3-\sqrt{6}; 3+\sqrt{6})$), симметрично отображаем вверх относительно оси $Ox$. При этом вершины $(-3; -6)$ и $(3; -6)$ переходят в точки $(-3; 6)$ и $(3; 6)$. 7. Пересечение с осью $Oy$: точка $(0; 3)$. **Построение графика:** * Наносим четыре нуля на оси $Ox$: $\approx -5{,}45$; $\approx -0{,}55$; $\approx 0{,}55$; $\approx 5{,}45$; * Отмечаем верхние вершины отраженных «волн»: $(-3; 6)$ и $(3; 6)$; * Точка на оси $Oy$: $(0; 3)$; * Ветви функции при $|x| \ge 3 + \sqrt{6}$ уходят вправо и влево вверх. Вся кривая расположена не ниже оси $Ox$ и строго симметрична относительно оси $Oy$.