ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 6 - 6.36

**1)** Дано: $x^3 - 7x - 6$. Целые корни приведенного многочлена с целыми коэффициентами находятся среди делителей его свободного члена: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$. Проверим $x = -1$: $$ (-1)^3 - 7 \cdot (-1) - 6 = -1 + 7 - 6 = 0 $$ Значит, $x = -1$ является корнем многочлена, и многочлен делится на $(x + 1)$ без остатка. Разделим многочлен на $(x + 1)$: $$ x^3 - 7x - 6 = x^3 + x^2 - x^2 - x - 6x - 6 = x^2(x + 1) - x(x + 1) - 6(x + 1) = (x + 1)(x^2 - x - 6) $$ Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - x - 6$: $$ x^2 - x - 6 = 0 $$ По теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 1 \\ x_1 \cdot x_2 = -6 \end{cases} \implies x_1 = -2, \quad x_2 = 3 $$ Следовательно, трехчлен раскладывается как $(x + 2)(x - 3)$. Целые корни: $-2; -1; 3$. Разложение на множители: $(x + 1)(x + 2)(x - 3)$. --- **2)** Дано: $x^3 + 9x^2 + 11x - 21$. Делители свободного члена $-21$: $\pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 21$. Проверим $x = 1$: $$ 1^3 + 9 \cdot 1^2 + 11 \cdot 1 - 21 = 1 + 9 + 11 - 21 = 0 $$ Значит, $x = 1$ — корень многочлена, и он делится на $(x - 1)$. Выполним деление: $$ x^3 + 9x^2 + 11x - 21 = x^3 - x^2 + 10x^2 - 10x + 21x - 21 = (x - 1)(x^2 + 10x + 21) $$ Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 10x + 21$: $$ x^2 + 10x + 21 = 0 $$ По теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -10 \\ x_1 \cdot x_2 = 21 \end{cases} \implies x_1 = -3, \quad x_2 = -7 $$ Целые корни: $-7; -3; 1$. Разложение на множители: $(x - 1)(x + 3)(x + 7)$. --- **3)** Дано: $x^3 - 5x^2 + 3x + 1$. Делители свободного члена $1$: $\pm 1$. Проверим $x = 1$: $$ 1^3 - 5 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 + 1 = 1 - 5 + 3 + 1 = 0 $$ Значит, $x = 1$ — корень многочлена. Разделим многочлен на $(x - 1)$: $$ x^3 - 5x^2 + 3x + 1 = x^3 - x^2 - 4x^2 + 4x - x + 1 = (x - 1)(x^2 - 4x - 1) $$ Проверим корни квадратного трехчлена $x^2 - 4x - 1 = 0$: $$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 16 + 4 = 20 $$ $$ x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = 2 \pm \sqrt{5} $$ Числа $2 \pm \sqrt{5}$ являются иррациональными и не являются целыми. Целый корень: $1$. Разложение на множители: $(x - 1)(x^2 - 4x - 1)$. --- **4)** Дано: $x^3 + 9x^2 + 23x + 15$. Так как все коэффициенты положительны, многочлен может иметь только отрицательные корни. Делители свободного члена $15$: $-1, -3, -5, -15$. Проверим $x = -1$: $$ (-1)^3 + 9 \cdot (-1)^2 + 23 \cdot (-1) + 15 = -1 + 9 - 23 + 15 = 0 $$ Значит, $x = -1$ — корень, многочлен делится на $(x + 1)$. Выполним преобразование: $$ x^3 + 9x^2 + 23x + 15 = x^3 + x^2 + 8x^2 + 8x + 15x + 15 = (x + 1)(x^2 + 8x + 15) $$ Найдем корни трехчлена $x^2 + 8x + 15$: $$ x^2 + 8x + 15 = 0 $$ По теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -8 \\ x_1 \cdot x_2 = 15 \end{cases} \implies x_1 = -3, \quad x_2 = -5 $$ Целые корни: $-5; -3; -1$. Разложение на множители: $(x + 1)(x + 3)(x + 5)$. --- **5)** Дано: $x^4 + 3x^3 - 12x^2 - 38x - 24$. Делители свободного члена $-24$: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$. Проверим $x = -1$: $$ (-1)^4 + 3(-1)^3 - 12(-1)^2 - 38(-1) - 24 = 1 - 3 - 12 + 38 - 24 = 0 $$ Значит, $x = -1$ — корень многочлена. Разделим многочлен на $(x + 1)$: $$ x^4 + 3x^3 - 12x^2 - 38x - 24 = (x + 1)(x^3 + 2x^2 - 14x - 24) $$ Для кубического многочлена $x^3 + 2x^2 - 14x - 24$ проверим $x = -4$: $$ (-4)^3 + 2(-4)^2 - 14(-4) - 24 = -64 + 32 + 56 - 24 = 0 $$ Значит, $x = -4$ также является корнем. Разделим многочлен $x^3 + 2x^2 - 14x - 24$ на $(x + 4)$: $$ x^3 + 2x^2 - 14x - 24 = (x + 4)(x^2 - 2x - 6) $$ Найдем корни трехчлена $x^2 - 2x - 6 = 0$: $$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 4 + 24 = 28 $$ $$ x = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2} = 1 \pm \sqrt{7} $$ Корни $1 \pm \sqrt{7}$ не являются целыми числами. Целые корни: $-4; -1$. Разложение на множители: $(x + 1)(x + 4)(x^2 - 2x - 6)$. --- **6)** Дано: $x^4 - 6x^3 - 14x^2 - 11x - 4$. Делители свободного члена $-4$: $\pm 1, \pm 2, \pm 4$. Проверим делители: - при $x = 1$: $1 - 6 - 14 - 11 - 4 = -34 \neq 0$; - при $x = -1$: $$ (-1)^4 - 6(-1)^3 - 14(-1)^2 - 11(-1) - 4 = 1 + 6 - 14 + 11 - 4 = 0 $$ Значит, $x = -1$ является корнем многочлена. Разделим многочлен на $(x + 1)$: $$ x^4 - 6x^3 - 14x^2 - 11x - 4 = (x + 1)(x^3 - 7x^2 - 7x - 4) $$ Проверим оставшиеся делители свободного члена $-4$ для многочлена $x^3 - 7x^2 - 7x - 4$: - при $x = -1$: $(-1)^3 - 7(-1)^2 - 7(-1) - 4 = -1 - 7 + 7 - 4 = -5 \neq 0$; - при $x = 2$: $2^3 - 7 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 - 4 = 8 - 28 - 14 - 4 = -38 \neq 0$; - при $x = -2$: $(-2)^3 - 7(-2)^2 - 7(-2) - 4 = -8 - 28 + 14 - 4 = -26 \neq 0$; - при $x = 4$: $4^3 - 7 \cdot 4^2 - 7 \cdot 4 - 4 = 64 - 112 - 28 - 4 = -80 \neq 0$; - при $x = -4$: $(-4)^3 - 7(-4)^2 - 7(-4) - 4 = -64 - 112 + 28 - 4 = -152 \neq 0$. Других целых корней нет. Целый корень: $-1$. Разложение на множители: $(x + 1)(x^3 - 7x^2 - 7x - 4)$.