ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 6 - 6.27

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю: $$ (x^2 - a)(x^2 + 3ax + a) = 0 \iff \left[ \begin{aligned} &x^2 - a = 0, \\ &x^2 + 3ax + a = 0. \end{aligned} \right. $$ Исследуем количество корней каждого из уравнений совокупности в зависимости от параметра $a$. 1. Первое уравнение: $x^2 - a = 0 \iff x^2 = a$. - Если $a < 0$, уравнение не имеет действительных корней. - Если $a = 0$, уравнение имеет один корень: $x = 0$. - Если $a > 0$, уравнение имеет два различных корня: $x_1 = \sqrt{a}$ и $x_2 = -\sqrt{a}$. 2. Второе уравнение: $x^2 + 3ax + a = 0$. Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $$ D = (3a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = 9a^2 - 4a = a(9a - 4). $$ - Если $D < 0$, то есть $a(9a - 4) < 0 \iff 0 < a < \frac{4}{9}$, уравнение не имеет действительных корней. - Если $D = 0$, то есть $a = 0$ или $a = \frac{4}{9}$, уравнение имеет один корень (кратности 2): - при $a = 0$: корень $x = 0$; - при $a = \frac{4}{9}$: корень $x = -\frac{3a}{2} = -\frac{3 \cdot \frac{4}{9}}{2} = -\frac{2}{3}$. - Если $D > 0$, то есть $a < 0$ или $a > \frac{4}{9}$, уравнение имеет два различных корня. 3. Определим число корней исходного уравнения для различных значений $a$: - **Случай $a < 0$:** Первое уравнение не имеет корней, а второе уравнение имеет 2 различных корня, так как $D > 0$. Всего получаем ровно 2 различных корня. Значит, все $a < 0$ удовлетворяют условию. - **Случай $a = 0$:** Первое уравнение дает корень $x = 0$, второе уравнение также дает корень $x = 0$. Всего получается один корень. Значение $a = 0$ не подходит. - **Случай $0 < a < \frac{4}{9}$:** Первое уравнение имеет 2 различных корня $x = \pm\sqrt{a}$, а второе уравнение корней не имеет ($D < 0$). Всего получается ровно 2 различных корня. Значит, все $a \in \left(0; \frac{4}{9}\right)$ удовлетворяют условию. - **Случай $a = \frac{4}{9}$:** Первое уравнение имеет корни: $$ x = \pm\sqrt{\frac{4}{9}} \implies x = \pm\frac{2}{3}. $$ Второе уравнение имеет один корень $x = -\frac{2}{3}$, который совпадает с одним из корней первого уравнения. Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных корня: $x = -\frac{2}{3}$ и $x = \frac{2}{3}$. Значение $a = \frac{4}{9}$ удовлетворяет условию. - **Случай $a > \frac{4}{9}$:** Первое уравнение имеет 2 различных корня ($x = \pm\sqrt{a}$), второе уравнение также имеет 2 различных корня ($D > 0$). Чтобы совокупность имела ровно 2 различных корня, необходимо, чтобы оба корня второго уравнения совпали с корнями первого уравнения (то есть корни второго уравнения были бы равны $\sqrt{a}$ и $-\sqrt{a}$). Однако по теореме Виета сумма корней второго уравнения равна $-3a$. Если бы его корнями были $\sqrt{a}$ и $-\sqrt{a}$, их сумма равнялась бы: $$ \sqrt{a} + (-\sqrt{a}) = 0 \implies -3a = 0 \implies a = 0, $$ что противоречит условию $a > \frac{4}{9}$. Следовательно, полного совпадения корней быть не может, и общее число различных корней исходного уравнения при $a > \frac{4}{9}$ равно 3 или 4. Значит, данный промежуток не подходит. Объединяя все подходящие значения параметра $a$, получаем: $$ a \in (-\infty; 0) \cup \left(0; \frac{4}{9}\right]. $$ Ответ: $a \in (-\infty; 0) \cup \left(0; \frac{4}{9}\right]$.