ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 5 - 5.119

По определению условной вероятности, для любого события $X$ при условии $P(A) \neq 0$ справедливо: $$ P_A(X) = \frac{P(AX)}{P(A)} $$ Применим это определение к левой части доказываемого равенства, где событием выступает сумма (объединение) событий $B$ и $C$, то есть $X = B + C$: $$ P_A(B + C) = \frac{P(A(B + C))}{P(A)} $$ Используя распределительное (дистрибутивное) свойство умножения событий относительно сложения, раскроем скобки в числителе: $$ A(B + C) = AB + AC $$ Тогда числитель примет вид $P(AB + AC)$. По теореме сложения вероятностей для любых двух совместных событий $X$ и $Y$ верно равенство: $$ P(X + Y) = P(X) + P(Y) - P(XY) $$ Положим $X = AB$ и $Y = AC$. Тогда их произведение: $$ XY = (AB)(AC) = AABC = ABC = A(BC) $$ Применяя теорему сложения к событиям $AB$ и $AC$, получаем: $$ P(AB + AC) = P(AB) + P(AC) - P(A(BC)) $$ Подставим полученное выражение в числитель формулы условной вероятности: $$ P_A(B + C) = \frac{P(AB) + P(AC) - P(A(BC))}{P(A)} $$ Разделим почленно каждое слагаемое числителя на знаменатель $P(A)$: $$ P_A(B + C) = \frac{P(AB)}{P(A)} + \frac{P(AC)}{P(A)} - \frac{P(A(BC))}{P(A)} $$ По определению условной вероятности: $$ \frac{P(AB)}{P(A)} = P_A(B), \quad \frac{P(AC)}{P(A)} = P_A(C), \quad \frac{P(A(BC))}{P(A)} = P_A(BC) $$ Подставляя эти значения, приходим к требуемому равенству: $$ P_A(B + C) = P_A(B) + P_A(C) - P_A(BC) $$ Равенство доказано.