ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 5 - 5.121

**1)** Всего имеется 4 альчика: 2 белых и 2 красных. Обозначим их как Б и К. Чтобы из каждого мешочка можно было извлечь альчик, ни один из мешочков не должен быть пустым. Вероятность выбора каждого мешочка палачом равна $\frac{1}{2}$. По формуле полной вероятности, вероятность помилования (извлечения белого альчика) равна: $$ P = \frac{1}{2} \cdot P_1 + \frac{1}{2} \cdot P_2 $$ где $P_1$ и $P_2$ — вероятности извлечения белого альчика из первого и второго мешочков соответственно. Рассмотрим все возможные способы распределения альчиков по двум мешочкам с точностью до перестановки мешочков: * **Случай 1:** в одном мешочке 1 альчик, во втором — 3 альчика. * Если в первом мешочке 1 белый альчик (1Б), а во втором — 1 белый и 2 красных (1Б, 2К): $$ P = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2}{3} \approx 0{,}67 $$ * Если в первом мешочке 1 красный альчик (1К), а во втором — 2 белых и 1 красный (2Б, 1К): $$ P = \frac{1}{2} \cdot \frac{0}{1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \approx 0{,}33 $$ * **Случай 2:** в каждом мешочке по 2 альчика. * Если в первом мешочке 2 белых (2Б), а во втором — 2 красных (2К): $$ P = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{0}{2} = \frac{1}{2} = 0{,}5 $$ * Если в первом мешочке 1 белый и 1 красный (1Б, 1К), и во втором также 1 белый и 1 красный (1Б, 1К): $$ P = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} = 0{,}5 $$ Сравнивая полученные значения вероятностей: $$ \frac{2}{3} > \frac{1}{2} > \frac{1}{3} $$ Наибольшая вероятность помилования достигается при распределении: в один мешочек положить 1 белый альчик, а во второй мешочек — 1 белый и 2 красных альчика. **Ответ:** в один мешочек положить 1 белый альчик, а во второй — 1 белый и 2 красных альчика (вероятность помилования составит $\frac{2}{3}$). --- **2)** Пусть сторона квадрата равна $a$. Тогда площадь квадрата равна: $$ S_{\text{кв}} = a^2 $$ Радиус вписанного в квадрат круга равен половине стороны квадрата: $r = \frac{a}{2}$. Площадь вписанного круга равна: $$ S_{\text{кр}} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{4} $$ По определению геометрической вероятности, вероятность того, что одна случайно брошенная точка попадет в круг, равна: $$ p = \frac{S_{\text{кр}}}{S_{\text{кв}}} = \frac{\frac{\pi a^2}{4}}{a^2} = \frac{\pi}{4} $$ Вероятность того, что точка не попадет в круг, равна: $$ q = 1 - p = 1 - \frac{\pi}{4} = \frac{4 - \pi}{4} $$ Так как бросания 4 точек независимы, применим формулу Бернулли $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$ для $n = 4$ и $k = 2$: $$ C_4^2 = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6 $$ $$ P_4(2) = 6 \cdot \left(\frac{\pi}{4}\right)^2 \cdot \left(\frac{4 - \pi}{4}\right)^{4 - 2} = 6 \cdot \frac{\pi^2}{16} \cdot \frac{(4 - \pi)^2}{16} = \frac{6\pi^2(4 - \pi)^2}{256} = \frac{3\pi^2(4 - \pi)^2}{128} $$ Приближенное значение при $\pi \approx 3{,}14$: $$ p \approx \frac{3{,}14}{4} = 0{,}785, \quad q \approx 1 - 0{,}785 = 0{,}215 $$ $$ P_4(2) \approx 6 \cdot (0{,}785)^2 \cdot (0{,}215)^2 \approx 6 \cdot 0{,}6162 \cdot 0{,}0462 \approx 0{,}171 $$ **Ответ:** $\frac{3\pi^2(4 - \pi)^2}{128}$ (или приблизительно $0{,}171$).