ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 5 - 5.116

1) Найдем коэффициент при $x^5$ многочлена $(1 + x - x^2)^3$. Представим выражение в виде суммы двух слагаемых и применим формулу куба суммы: $$ (1 + (x - x^2))^3 = 1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot (x - x^2) + 3 \cdot 1 \cdot (x - x^2)^2 + (x - x^2)^3 $$ Определим, в каких слагаемых может содержаться переменная $x^5$: - Первое слагаемое $1$ не содержит переменной. - Второе слагаемое $3(x - x^2) = 3x - 3x^2$ содержит степени не выше 2. - Третье слагаемое $3(x - x^2)^2 = 3(x^2 - 2x^3 + x^4) = 3x^2 - 6x^3 + 3x^4$ содержит степени не выше 4. - Четвертое слагаемое $(x - x^2)^3$: вынесем $x$ за скобки и возведем в степень: $$ (x - x^2)^3 = (x(1 - x))^3 = x^3(1 - x)^3 = x^3(1 - 3x + 3x^2 - x^3) = x^3 - 3x^4 + 3x^5 - x^6 $$ Единственный член, содержащий $x^5$, равен $3x^5$. Значит, коэффициент при $x^5$ равен $3$. 2) Найдем коэффициент при $x^5$ многочлена $(1 + x^2 - x^3)^4$. Представим выражение в виде $(1 + (x^2 - x^3))^4$ и воспользуемся биномом Ньютона: $$ (1 + (x^2 - x^3))^4 = 1 + 4(x^2 - x^3) + 6(x^2 - x^3)^2 + 4(x^2 - x^3)^3 + (x^2 - x^3)^4 $$ Определим, в каких слагаемых может содержаться $x^5$: - Слагаемые $1$ и $4(x^2 - x^3)$ содержат степени $x$ не выше 3. - Слагаемое $6(x^2 - x^3)^2$: раскроем квадрат разности: $$ 6(x^2 - x^3)^2 = 6((x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot x^3 + (x^3)^2) = 6(x^4 - 2x^5 + x^6) = 6x^4 - 12x^5 + 6x^6 $$ Отсюда получаем член с $x^5$, равный $-12x^5$. - Слагаемые $4(x^2 - x^3)^3$ и $(x^2 - x^3)^4$: наименьшая степень переменной в первом из них равна $2 \cdot 3 = 6$, а во втором равна $2 \cdot 4 = 8$, поэтому степени $x^5$ они не содержат. Таким образом, член с $x^5$ равен $-12x^5$, а его коэффициент равен $-12$. Ответ: 1) $3$; 2) $-12$.