ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 5 - 5.115

Запишем формулу общего члена биномиального разложения $\left(x + \frac{1}{x}\right)^m$: $$ T_{k+1} = C_m^k \cdot x^{m-k} \cdot \left(\frac{1}{x}\right)^k = C_m^k \cdot x^{m-k} \cdot x^{-k} = C_m^k x^{m-2k} $$ где $k = 0, 1, 2, \dots, m$. Первое слагаемое разложения соответствует $k = 0$: $$ T_1 = C_m^0 x^m $$ Его коэффициент равен $C_m^0 = 1$. Третье слагаемое разложения соответствует $k = 2$: $$ T_3 = C_m^2 x^{m-4} $$ Его коэффициент равен $C_m^2 = \frac{m(m-1)}{2}$. По условию задачи, сумма коэффициентов первого и третьего слагаемых равна 46: $$ C_m^0 + C_m^2 = 46 $$ $$ 1 + \frac{m(m-1)}{2} = 46 $$ $$ \frac{m(m-1)}{2} = 45 $$ $$ m(m-1) = 90 $$ $$ m^2 - m - 90 = 0 $$ Решим квадратное уравнение по теореме Виета: $$ m_1 = 10, \quad m_2 = -9 $$ Показатель степени бинома $m$ должен быть натуральным числом, поэтому подходит только $m = 10$. Найдем слагаемое, не содержащее переменную $x$. В общем члене разложения показатель степени при $x$ должен быть равен нулю: $$ m - 2k = 0 $$ Подставим найденное значение $m = 10$: $$ 10 - 2k = 0 $$ $$ 2k = 10 $$ $$ k = 5 $$ Следовательно, слагаемое, не содержащее переменную $x$, — это шестой член разложения ($k = 5$): $$ T_6 = C_{10}^5 x^0 = C_{10}^5 $$ Вычислим значение биномиального коэффициента: $$ C_{10}^5 = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 252 $$ Ответ: 252.