ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 5 - 5.114

**1)** Докажем тождество $C_n^k + C_n^{k-1} = C_{n+1}^k$. Воспользуемся формулой числа сочетаний: $$ C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!} $$ Преобразуем левую часть равенства: $$ C_n^k + C_n^{k-1} = \frac{n!}{k!(n-k)!} + \frac{n!}{(k-1)!(n-(k-1))!} = \frac{n!}{k!(n-k)!} + \frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!} $$ Приведем дроби к общему знаменателю $k!(n-k+1)!$, учитывая, что $k! = k \cdot (k-1)!$ и $(n-k+1)! = (n-k+1) \cdot (n-k)!$: $$ \frac{n!(n-k+1)}{k!(n-k+1)!} + \frac{n! \cdot k}{k!(n-k+1)!} = \frac{n!(n-k+1+k)}{k!(n-k+1)!} $$ $$ = \frac{n!(n+1)}{k!(n-k+1)!} = \frac{(n+1)!}{k!((n+1)-k)!} = C_{n+1}^k $$ Получили правую часть. Тождество доказано. --- **2)** Докажем тождество $C_n^1 + 6C_n^2 + 6C_n^3 = n^3$. Запишем выражения для входящих в тождество сочетаний: $$ C_n^1 = n $$ $$ C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2!}=\frac{n(n-1)}{2} $$ $$ C_n^3 = \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}=\frac{n(n-1)(n-2)}{6} $$ Подставим эти выражения в левую часть тождества: $$ C_n^1 + 6C_n^2 + 6C_n^3 = n + 6 \cdot \frac{n(n-1)}{2} + 6 \cdot \frac{n(n-1)(n-2)}{6} $$ $$ = n + 3n(n-1) + n(n-1)(n-2) $$ Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $$ = n + 3(n^2 - n) + n(n^2 - 3n + 2) $$ $$ = n + 3n^2 - 3n + n^3 - 3n^2 + 2n $$ $$ = n^3 + (3n^2 - 3n^2) + (n - 3n + 2n) = n^3 $$ Левая часть равна правой. Тождество доказано. --- **3)** Докажем тождество $C_n^0 + 7C_n^1 + 12C_n^2 + 6C_n^3 = (n+1)^3$. Запишем формулы для каждого слагаемого левой части: $$ C_n^0 = 1 $$ $$ C_n^1 = n $$ $$ C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2} $$ $$ C_n^3 = \frac{n(n-1)(n-2)}{6} $$ Подставим их в левую часть тождества: $$ C_n^0 + 7C_n^1 + 12C_n^2 + 6C_n^3 = 1 + 7n + 12 \cdot \frac{n(n-1)}{2} + 6 \cdot \frac{n(n-1)(n-2)}{6} $$ $$ = 1 + 7n + 6n(n-1) + n(n-1)(n-2) $$ Раскроем скобки: $$ = 1 + 7n + 6n^2 - 6n + n(n^2 - 3n + 2) $$ $$ = 1 + n + 6n^2 + n^3 - 3n^2 + 2n $$ $$ = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 $$ Свернем полученный многочлен по формуле куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$: $$ n^3 + 3n^2 + 3n + 1 = (n+1)^3 $$ Левая часть равна правой. Тождество доказано.