ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.91

1) Докажем тождество: $$ \frac{\cos \alpha \operatorname{ctg} \alpha - \sin \alpha \operatorname{tg} \alpha}{\left( \sin \alpha + \cos \alpha \right)^2 - \sin \alpha \cos \alpha} = \frac{1}{\sin \alpha} - \frac{1}{\cos \alpha} $$ Преобразуем числитель левой части, выразив $\operatorname{tg} \alpha$ и $\operatorname{ctg} \alpha$ через $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$: $$ \cos \alpha \operatorname{ctg} \alpha - \sin \alpha \operatorname{tg} \alpha = \cos \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - \sin \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha} - \frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha} $$ Приведем дроби к общему знаменателю: $$ \frac{\cos^2 \alpha \cdot \cos \alpha - \sin^2 \alpha \cdot \sin \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{\cos^3 \alpha - \sin^3 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} $$ Используя формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, разложим числитель: $$ \frac{(\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos^2 \alpha + \cos \alpha \sin \alpha + \sin^2 \alpha)}{\sin \alpha \cos \alpha} $$ Так как $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем: $$ \frac{(\cos \alpha - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha \cos \alpha)}{\sin \alpha \cos \alpha} $$ Преобразуем знаменатель левой части исходной дроби, раскрыв квадрат суммы: $$ (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - \sin \alpha \cos \alpha = \sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha - \sin \alpha \cos \alpha $$ Так как $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем: $$ 1 + \sin \alpha \cos \alpha $$ Подставим полученные выражения числителя и знаменателя в левую часть тождества: $$ \frac{\frac{(\cos \alpha - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha \cos \alpha)}{\sin \alpha \cos \alpha}}{1 + \sin \alpha \cos \alpha} = \frac{\cos \alpha - \sin \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} $$ Разделим почленно числитель на знаменатель: $$ \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{1}{\sin \alpha} - \frac{1}{\cos \alpha} $$ Получили выражение, совпадающее с правой частью тождества: $$ \frac{1}{\sin \alpha} - \frac{1}{\cos \alpha} = \frac{1}{\sin \alpha} - \frac{1}{\cos \alpha} $$ Тождество доказано. --- 2) Докажем тождество: $$ \frac{\cos \alpha + \sin \alpha - \cos^2 \alpha \sin \alpha - \sin^2 \alpha \cos \alpha}{\sin \alpha \operatorname{tg} \alpha + \cos \alpha \operatorname{ctg} \alpha} = \sin \alpha \cos \alpha $$ Преобразуем числитель левой части способом группировки: $$ (\cos \alpha + \sin \alpha) - (\cos^2 \alpha \sin \alpha + \sin^2 \alpha \cos \alpha) $$ Вынесем общий множитель $\sin \alpha \cos \alpha$ во второй скобке: $$ (\cos \alpha + \sin \alpha) - \sin \alpha \cos \alpha(\cos \alpha + \sin \alpha) = (\cos \alpha + \sin \alpha)(1 - \sin \alpha \cos \alpha) $$ Преобразуем знаменатель левой части, выразив $\operatorname{tg} \alpha$ и $\operatorname{ctg} \alpha$ через $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$: $$ \sin \alpha \operatorname{tg} \alpha + \cos \alpha \operatorname{ctg} \alpha = \sin \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \cos \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha} $$ Приведем к общему знаменателю: $$ \frac{\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} $$ Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$: $$ \sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = (\sin \alpha + \cos \alpha)(\sin^2 \alpha - \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha) $$ Так как $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$: $$ \sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = (\sin \alpha + \cos \alpha)(1 - \sin \alpha \cos \alpha) $$ Следовательно, знаменатель равен: $$ \frac{(\sin \alpha + \cos \alpha)(1 - \sin \alpha \cos \alpha)}{\sin \alpha \cos \alpha} $$ Подставим преобразованные числитель и знаменатель в левую часть тождества: $$ \frac{(\cos \alpha + \sin \alpha)(1 - \sin \alpha \cos \alpha)}{\frac{(\sin \alpha + \cos \alpha)(1 - \sin \alpha \cos \alpha)}{\sin \alpha \cos \alpha}} = (\cos \alpha + \sin \alpha)(1 - \sin \alpha \cos \alpha) \cdot \frac{\sin \alpha \cos \alpha}{(\sin \alpha + \cos \alpha)(1 - \sin \alpha \cos \alpha)} $$ Сократив дробь на выражение $(\sin \alpha + \cos \alpha)(1 - \sin \alpha \cos \alpha)$, получаем: $$ \sin \alpha \cos \alpha $$ Левая часть равна правой части: $$ \sin \alpha \cos \alpha = \sin \alpha \cos \alpha $$ Тождество доказано.