ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.119

**1)** Дано: $\sin \alpha = \frac{5}{13}$, $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Так как угол $\alpha$ находится во II четверти, косинус отрицателен ($\cos \alpha < 0$). По основному тригонометрическому тождеству: $$ \cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{25}{169}} = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13} $$ Определим четверть для половинного угла $\frac{\alpha}{2}$: $$ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \implies \frac{\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2} $$ Угол $\frac{\alpha}{2}$ лежит в I четверти, значит, все тригонометрические функции положительны. Применяем формулы половинного аргумента: $$ \cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \left(-\frac{12}{13}\right)}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{1}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{26}} = \frac{1}{\sqrt{26}} = \frac{\sqrt{26}}{26} $$ $$ \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \left(-\frac{12}{13}\right)}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{25}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{25}{26}} = \frac{5}{\sqrt{26}} = \frac{5\sqrt{26}}{26} $$ $$ \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} = \frac{\frac{5}{\sqrt{26}}}{\frac{1}{\sqrt{26}}} = 5 $$ $$ \operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}} = \frac{1}{5} $$ Ответ: $\cos \frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{26}}{26}$; $\sin \frac{\alpha}{2} = \frac{5\sqrt{26}}{26}$; $\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = 5$; $\operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{5}$. --- **2)** Дано: $\cos \alpha = -\frac{12}{13}$, $\frac{5\pi}{2} < \alpha < 3\pi$. Определим четверть для половинного угла $\frac{\alpha}{2}$: $$ \frac{5\pi}{2} < \alpha < 3\pi \implies \frac{5\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \frac{3\pi}{2} $$ Угол $\frac{\alpha}{2}$ лежит в III четверти. В этой четверти $\cos \frac{\alpha}{2} < 0$, $\sin \frac{\alpha}{2} < 0$, $\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} > 0$, $\operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2} > 0$. По формулам половинного аргумента: $$ \cos \frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} = -\sqrt{\frac{1 + \left(-\frac{12}{13}\right)}{2}} = -\sqrt{\frac{\frac{1}{13}}{2}} = -\sqrt{\frac{1}{26}} = -\frac{\sqrt{26}}{26} $$ $$ \sin \frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} = -\sqrt{\frac{1 - \left(-\frac{12}{13}\right)}{2}} = -\sqrt{\frac{\frac{25}{13}}{2}} = -\sqrt{\frac{25}{26}} = -\frac{5\sqrt{26}}{26} $$ $$ \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} = \frac{-\frac{5\sqrt{26}}{26}}{-\frac{\sqrt{26}}{26}} = 5 $$ $$ \operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}} = \frac{1}{5} $$ Ответ: $\cos \frac{\alpha}{2} = -\frac{\sqrt{26}}{26}$; $\sin \frac{\alpha}{2} = -\frac{5\sqrt{26}}{26}$; $\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = 5$; $\operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{5}$. --- **3)** Дано: $\cos \alpha = -\frac{3}{4}$, $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Определим четверть для половинного угла $\frac{\alpha}{2}$: $$ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \implies \frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{3\pi}{4} $$ Угол $\frac{\alpha}{2}$ лежит во II четверти. В этой четверти $\cos \frac{\alpha}{2} < 0$, $\sin \frac{\alpha}{2} > 0$, $\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} < 0$, $\operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2} < 0$. По формулам половинного аргумента: $$ \cos \frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} = -\sqrt{\frac{1 + \left(-\frac{3}{4}\right)}{2}} = -\sqrt{\frac{\frac{1}{4}}{2}} = -\sqrt{\frac{1}{8}} = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4} $$ $$ \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \left(-\frac{3}{4}\right)}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{7}{4}}{2}} = \sqrt{\frac{7}{8}} = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{4} $$ $$ \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{14}}{4}}{-\frac{\sqrt{2}}{4}} = -\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{2}} = -\sqrt{7} $$ $$ \operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{7}} = -\frac{\sqrt{7}}{7} $$ Ответ: $\cos \frac{\alpha}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$; $\sin \frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{14}}{4}$; $\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = -\sqrt{7}$; $\operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2} = -\frac{\sqrt{7}}{7}$. --- **4)** Дано: $\sin \alpha = -0,8$, $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Так как угол $\alpha$ находится в III четверти, косинус отрицателен ($\cos \alpha < 0$): $$ \cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - (-0,8)^2} = -\sqrt{1 - 0,64} = -\sqrt{0,36} = -0,6 $$ Определим четверть для половинного угла $\frac{\alpha}{2}$: $$ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \implies \frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{3\pi}{4} $$ Угол $\frac{\alpha}{2}$ лежит во II четверти, значит, $\cos \frac{\alpha}{2} < 0$, $\sin \frac{\alpha}{2} > 0$, $\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} < 0$, $\operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2} < 0$. По формулам половинного аргумента: $$ \cos \frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} = -\sqrt{\frac{1 + (-0,6)}{2}} = -\sqrt{\frac{0,4}{2}} = -\sqrt{0,2} = -\sqrt{\frac{1}{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5} $$ $$ \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - (-0,6)}{2}} = \sqrt{\frac{1,6}{2}} = \sqrt{0,8} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} $$ $$ \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} = \frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{-\frac{\sqrt{5}}{5}} = -2 $$ $$ \operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}} = -\frac{1}{2} = -0,5 $$ Ответ: $\cos \frac{\alpha}{2} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$; $\sin \frac{\alpha}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$; $\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = -2$; $\operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2} = -0,5$.