ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.117

1) Дано: $\tan \alpha = \frac{3}{4}$, $180^\circ < \alpha < 270^\circ$. Так как угол $\alpha$ принадлежит III координатной четверти, значения $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$ отрицательны. Найдем $\cos \alpha$ и $\sin \alpha$, используя тождество $1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$: $$ \frac{1}{\cos^2 \alpha} = 1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1 + \frac{9}{16} = \frac{25}{16} $$ $$ \cos^2 \alpha = \frac{16}{25} $$ Так как $180^\circ < \alpha < 270^\circ$, получаем: $$ \cos \alpha = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5} $$ Найдем $\sin \alpha$: $$ \sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{3}{5} $$ Используя формулы двойного угла, вычислим требуемые значения: $$ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{24}{25} $$ $$ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \left(-\frac{4}{5}\right)^2 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25} $$ $$ \tan 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{\frac{24}{25}}{\frac{7}{25}} = \frac{24}{7} = 3\frac{3}{7} $$ $$ \cot 2\alpha = \frac{1}{\tan 2\alpha} = \frac{7}{24} $$ Ответ: $\sin 2\alpha = \frac{24}{25}$, $\cos 2\alpha = \frac{7}{25}$, $\tan 2\alpha = \frac{24}{7}$, $\cot 2\alpha = \frac{7}{24}$. --- 2) Дано: $\sin \alpha = -\frac{12}{13}$, $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Так как угол $\alpha$ находится в III четверти, косинус отрицателен ($\cos \alpha < 0$). Найдем $\cos \alpha$ с помощью основного тригонометрического тождества: $$ \cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - \left(-\frac{12}{13}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{144}{169}} = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13} $$ Вычислим $\cos 2\alpha$ и $\sin 2\alpha$: $$ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) = \frac{120}{169} $$ $$ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \left(-\frac{5}{13}\right)^2 - \left(-\frac{12}{13}\right)^2 = \frac{25}{169} - \frac{144}{169} = -\frac{119}{169} $$ Ответ: $\cos 2\alpha = -\frac{119}{169}$, $\sin 2\alpha = \frac{120}{169}$.