ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.116

1) Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ для числителя при $\alpha = 20^\circ$: $$ \sin 40^\circ = \sin(2 \cdot 20^\circ) = 2\sin 20^\circ\cos 20^\circ $$ Подставим это выражение в дробь и выполним сокращение: $$ \frac{\sin 40^\circ}{\sin 20^\circ} = \frac{2\sin 20^\circ\cos 20^\circ}{\sin 20^\circ} = 2\cos 20^\circ $$ 2) Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ при $\alpha = 40^\circ$: $$ \cos 80^\circ = \cos(2 \cdot 40^\circ) = \cos^2 40^\circ - \sin^2 40^\circ $$ Разложим числитель по формуле разности квадратов: $$ \cos^2 40^\circ - \sin^2 40^\circ = (\cos 40^\circ - \sin 40^\circ)(\cos 40^\circ + \sin 40^\circ) $$ Подставим разложение в дробь и сократим её на общий множитель $(\cos 40^\circ + \sin 40^\circ)$: $$ \frac{\cos 80^\circ}{\cos 40^\circ + \sin 40^\circ} = \frac{(\cos 40^\circ - \sin 40^\circ)(\cos 40^\circ + \sin 40^\circ)}{\cos 40^\circ + \sin 40^\circ} = \cos 40^\circ - \sin 40^\circ $$ 3) Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ при $\alpha = 50^\circ$: $$ \sin 100^\circ = \sin(2 \cdot 50^\circ) = 2\sin 50^\circ\cos 50^\circ $$ Подставим в дробь и сократим на $\cos 50^\circ$: $$ \frac{\sin 100^\circ}{\cos 50^\circ} = \frac{2\sin 50^\circ\cos 50^\circ}{\cos 50^\circ} = 2\sin 50^\circ $$ 4) Выразим $\cos 36^\circ$ через аргумент $18^\circ$, используя формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$: $$ \cos 36^\circ = \cos(2 \cdot 18^\circ) = \cos^2 18^\circ - \sin^2 18^\circ $$ Преобразуем числитель: $$ \cos 36^\circ + \sin^2 18^\circ = (\cos^2 18^\circ - \sin^2 18^\circ) + \sin^2 18^\circ = \cos^2 18^\circ $$ Подставим полученный результат в дробь и сократим: $$ \frac{\cos 36^\circ + \sin^2 18^\circ}{\cos 18^\circ} = \frac{\cos^2 18^\circ}{\cos 18^\circ} = \cos 18^\circ $$ Ответ: 1) $2\cos 20^\circ$; 2) $\cos 40^\circ - \sin 40^\circ$; 3) $2\sin 50^\circ$; 4) $\cos 18^\circ$.