ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.114

1) $\cos^4 2x - \sin^4 2x$ Разложим выражение по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $$ \cos^4 2x - \sin^4 2x = (\cos^2 2x - \sin^2 2x)(\cos^2 2x + \sin^2 2x) $$ Применим основное тригонометрическое тождество $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ и формулу косинуса двойного угла $\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha$ для $\alpha = 2x$: $$ \cos(2 \cdot 2x) \cdot 1 = \cos 4x $$ Ответ: $\cos 4x$. --- 2) $\frac{\cos 2\alpha}{\cos \alpha} - \frac{\sin 2\alpha}{\sin \alpha}$ Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$: $$ \frac{\cos 2\alpha}{\cos \alpha} - \frac{2\sin \alpha \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\cos 2\alpha}{\cos \alpha} - 2\cos \alpha $$ Приведем выражение к общему знаменателю: $$ \frac{\cos 2\alpha - 2\cos^2 \alpha}{\cos \alpha} $$ По формуле косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$: $$ \frac{2\cos^2 \alpha - 1 - 2\cos^2 \alpha}{\cos \alpha} = -\frac{1}{\cos \alpha} $$ Ответ: $-\frac{1}{\cos \alpha}$. --- 3) $1 + \cos 2x + 2\sin^2 x$ Распишем косинус двойного угла по формуле $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$: $$ 1 + \cos 2x + 2\sin^2 x = 1 + \cos^2 x - \sin^2 x + 2\sin^2 x $$ Приведем подобные слагаемые: $$ 1 + \cos^2 x + \sin^2 x $$ Так как по основному тригонометрическому тождеству $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, получаем: $$ 1 + 1 = 2 $$ Ответ: $2$. --- 4) $2\sin^2 \alpha - 1$ Вынесем знак «минус» за скобки: $$ 2\sin^2 \alpha - 1 = -(1 - 2\sin^2 \alpha) $$ Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha$: $$ -(1 - 2\sin^2 \alpha) = -\cos 2\alpha $$ Ответ: $-\cos 2\alpha$. --- 5) $\sin^2 x + \cos^4 x - 0,75$ Выразим $\sin^2 x$ через основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$: $$ 1 - \cos^2 x + \cos^4 x - 0,75 = \cos^4 x - \cos^2 x + 0,25 $$ Свернем полученный квадратный трехчлен по формуле квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$: $$ (\cos^2 x)^2 - 2 \cdot 0,5 \cdot \cos^2 x + 0,5^2 = (\cos^2 x - 0,5)^2 $$ Преобразуем выражение в скобках, используя формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$: $$ \cos^2 x - 0,5 = \frac{2\cos^2 x - 1}{2} = \frac{\cos 2x}{2} $$ Подставим обратно в квадрат: $$ \left(\frac{\cos 2x}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\cos^2 2x $$ Ответ: $\frac{1}{4}\cos^2 2x$ (или $(\cos^2 x - 0,5)^2$). --- 6) $2\cos^2 x - 1$ Воспользуемся формулой косинуса двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$: $$ 2\cos^2 x - 1 = \cos 2x $$ Ответ: $\cos 2x$.