ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.115

1) $\cos^2 \alpha - 4 \sin^2 \frac{\alpha}{2} \cos^2 \frac{\alpha}{2}$ Применим формулу синуса двойного угла $2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} = \sin \alpha$: $$ 4 \sin^2 \frac{\alpha}{2} \cos^2 \frac{\alpha}{2} = \left(2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}\right)^2 = \sin^2 \alpha $$ Подставим полученное выражение: $$ \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha $$ Ответ: $\cos 2\alpha$. --- 2) $1 - 4 \sin^2 x \cos^2 x$ Используем формулу синуса двойного угла $2 \sin x \cos x = \sin 2x$: $$ 4 \sin^2 x \cos^2 x = (2 \sin x \cos x)^2 = \sin^2 2x $$ Применим основное тригонометрическое тождество $1 - \sin^2 2x = \cos^2 2x$: $$ 1 - \sin^2 2x = \cos^2 2x $$ Ответ: $\cos^2 2x$. --- 3) $\operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{ctg} 2 \alpha$ Запишем котангенсы через отношение косинуса к синусу: $$ \operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{ctg} 2\alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} $$ Приведем дроби к общему знаменателю: $$ \frac{\cos \alpha \sin 2\alpha - \sin \alpha \cos 2\alpha}{\sin \alpha \sin 2\alpha} $$ В числителе применим формулу синуса разности $\sin(u - v) = \sin u \cos v - \cos u \sin v$: $$ \frac{\sin(2\alpha - \alpha)}{\sin \alpha \sin 2\alpha} = \frac{\sin \alpha}{\sin \alpha \sin 2\alpha} = \frac{1}{\sin 2\alpha} $$ Ответ: $\frac{1}{\sin 2\alpha}$. --- 4) $\frac{\cos 2x}{\sin x} + \frac{\sin 2x}{\cos x}$ Приведем дроби к общему знаменателю: $$ \frac{\cos 2x \cos x + \sin 2x \sin x}{\sin x \cos x} $$ В числителе применим формулу косинуса разности $\cos(u - v) = \cos u \cos v + \sin u \sin v$: $$ \frac{\cos(2x - x)}{\sin x \cos x} = \frac{\cos x}{\sin x \cos x} $$ Сократим дробь на $\cos x$: $$ \frac{1}{\sin x} $$ Ответ: $\frac{1}{\sin x}$. --- 5) $\frac{\cos^2 x}{\operatorname{tg} \frac{x}{2} - \operatorname{ctg} \frac{x}{2}}$ Сначала упростим знаменатель, выразив тангенс и котангенс через синус и косинус: $$ \operatorname{tg} \frac{x}{2} - \operatorname{ctg} \frac{x}{2} = \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} - \frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} = \frac{\sin^2 \frac{x}{2} - \cos^2 \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} $$ Используем формулы косинуса и синуса двойного угла: $$ \sin^2 \frac{x}{2} - \cos^2 \frac{x}{2} = -\left(\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}\right) = -\cos x $$ $$ \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \sin x $$ Тогда знаменатель равен: $$ \frac{-\cos x}{\frac{1}{2} \sin x} = -\frac{2 \cos x}{\sin x} $$ Подставим полученное выражение в исходную дробь: $$ \frac{\cos^2 x}{-\frac{2 \cos x}{\sin x}} = -\frac{\cos^2 x \cdot \sin x}{2 \cos x} = -\frac{\sin x \cos x}{2} $$ Так как $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$, получаем: $$ -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sin 2x = -\frac{1}{4} \sin 2x $$ Ответ: $-\frac{1}{4} \sin 2x$. --- 6) $\cos^4 \frac{\alpha}{2} - \sin^4 \frac{\alpha}{2}$ Разложим выражение по формуле разности квадратов: $$ \cos^4 \frac{\alpha}{2} - \sin^4 \frac{\alpha}{2} = \left(\cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2}\right)\left(\cos^2 \frac{\alpha}{2} + \sin^2 \frac{\alpha}{2}\right) $$ Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 \frac{\alpha}{2} + \sin^2 \frac{\alpha}{2} = 1$ и формулу косинуса двойного угла $\cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \cos \alpha$: $$ \cos \alpha \cdot 1 = \cos \alpha $$ Ответ: $\cos \alpha$.