ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.102

### 1) $$ \frac{\sin 24^\circ \cos 6^\circ - \sin 6^\circ \sin 66^\circ}{\sin 21^\circ \cos 39^\circ - \sin 39^\circ \cos 21^\circ} = -1 $$ Преобразуем числитель и знаменатель дроби в левой части равенства. В числителе применим формулу приведения $\sin 66^\circ = \sin(90^\circ - 24^\circ) = \cos 24^\circ$: $$ \sin 24^\circ \cos 6^\circ - \sin 6^\circ \sin 66^\circ = \sin 24^\circ \cos 6^\circ - \cos 24^\circ \sin 6^\circ $$ По формуле синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$: $$ \sin 24^\circ \cos 6^\circ - \cos 24^\circ \sin 6^\circ = \sin(24^\circ - 6^\circ) = \sin 18^\circ $$ В знаменателе применим формулу синуса разности: $$ \sin 21^\circ \cos 39^\circ - \sin 39^\circ \cos 21^\circ = \sin(21^\circ - 39^\circ) = \sin(-18^\circ) = -\sin 18^\circ $$ Подставим полученные значения в дробь: $$ \frac{\sin 18^\circ}{-\sin 18^\circ} = -1 $$ Получили тождество $-1 = -1$. **Ответ:** Равенство истинно. --- ### 2) $$ \frac{\sin 20^\circ \cos 10^\circ + \cos 160^\circ \cos 100^\circ}{\sin 21^\circ \cos 9^\circ + \cos 159^\circ \cos 99^\circ} = 1 $$ Используем формулы приведения: - $\cos 160^\circ = \cos(180^\circ - 20^\circ) = -\cos 20^\circ$ - $\cos 100^\circ = \cos(90^\circ + 10^\circ) = -\sin 10^\circ$ - $\cos 159^\circ = \cos(180^\circ - 21^\circ) = -\cos 21^\circ$ - $\cos 99^\circ = \cos(90^\circ + 9^\circ) = -\sin 9^\circ$ Преобразуем числитель: $$ \sin 20^\circ \cos 10^\circ + (-\cos 20^\circ)(-\sin 10^\circ) = \sin 20^\circ \cos 10^\circ + \cos 20^\circ \sin 10^\circ $$ По формуле синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$: $$ \sin 20^\circ \cos 10^\circ + \cos 20^\circ \sin 10^\circ = \sin(20^\circ + 10^\circ) = \sin 30^\circ $$ Преобразуем знаменатель: $$ \sin 21^\circ \cos 9^\circ + (-\cos 21^\circ)(-\sin 9^\circ) = \sin 21^\circ \cos 9^\circ + \cos 21^\circ \sin 9^\circ = \sin(21^\circ + 9^\circ) = \sin 30^\circ $$ Подставим в дробь: $$ \frac{\sin 30^\circ}{\sin 30^\circ} = 1 $$ Получили тождество $1 = 1$. **Ответ:** Равенство истинно. --- ### 3) $$ \frac{\cos 63^\circ \cos 3^\circ + \cos 87^\circ \cos 27^\circ}{\cos 132^\circ \cos 72^\circ - \cos 42^\circ \cos 18^\circ} = 1 $$ Преобразуем числитель с помощью формул приведения: - $\cos 87^\circ = \cos(90^\circ - 3^\circ) = \sin 3^\circ$ - $\cos 27^\circ = \cos(90^\circ - 63^\circ) = \sin 63^\circ$ Получаем: $$ \cos 63^\circ \cos 3^\circ + \sin 3^\circ \sin 63^\circ = \cos(63^\circ - 3^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $$ Преобразуем знаменатель: - $\cos 132^\circ = \cos(90^\circ + 42^\circ) = -\sin 42^\circ$ - $\cos 72^\circ = \cos(90^\circ - 18^\circ) = \sin 18^\circ$ Тогда выражение в знаменателе принимает вид: $$ -\sin 42^\circ \sin 18^\circ - \cos 42^\circ \cos 18^\circ = -(\cos 42^\circ \cos 18^\circ + \sin 42^\circ \sin 18^\circ) = -\cos(42^\circ - 18^\circ) = -\cos 24^\circ $$ Подставим полученные выражения в дробь: $$ \frac{\frac{1}{2}}{-\cos 24^\circ} = -\frac{1}{2\cos 24^\circ} \neq 1 $$ Так как $-\frac{1}{2\cos 24^\circ} \neq 1$, равенство не выполняется. **Ответ:** Равенство ложно. --- ### 4) $$ \frac{\cos 64^\circ \cos 4^\circ - \cos 86^\circ \cos 26^\circ}{\cos 71^\circ \cos 3^\circ + \cos 87^\circ \cos 19^\circ} = 1 $$ Применим формулы приведения к сомножителям: - $\cos 86^\circ = \cos(90^\circ - 4^\circ) = \sin 4^\circ$ - $\cos 26^\circ = \cos(90^\circ - 64^\circ) = \sin 64^\circ$ - $\cos 87^\circ = \cos(90^\circ - 3^\circ) = \sin 3^\circ$ - $\cos 19^\circ = \cos(90^\circ - 71^\circ) = \sin 71^\circ$ Подставим их в числитель и знаменатель: $$ \frac{\cos 64^\circ \cos 4^\circ - \sin 4^\circ \sin 64^\circ}{\cos 71^\circ \cos 3^\circ + \sin 3^\circ \sin 71^\circ} $$ Используем формулы косинуса суммы и косинуса разности: $$ \frac{\cos(64^\circ + 4^\circ)}{\cos(71^\circ - 3^\circ)} = \frac{\cos 68^\circ}{\cos 68^\circ} = 1 $$ Получили тождество $1 = 1$. **Ответ:** Равенство истинно. --- ### 5) $$ \frac{\cos 66^\circ \cos 4^\circ - \cos 86^\circ \cos 24^\circ}{\cos 65^\circ \cos 5^\circ - \cos 85^\circ \cos 25^\circ} = 1 $$ Применим формулы приведения: - $\cos 86^\circ = \cos(90^\circ - 4^\circ) = \sin 4^\circ$ - $\cos 24^\circ = \cos(90^\circ - 66^\circ) = \sin 66^\circ$ - $\cos 85^\circ = \cos(90^\circ - 5^\circ) = \sin 5^\circ$ - $\cos 25^\circ = \cos(90^\circ - 65^\circ) = \sin 65^\circ$ Подставим полученные значения: $$ \frac{\cos 66^\circ \cos 4^\circ - \sin 66^\circ \sin 4^\circ}{\cos 65^\circ \cos 5^\circ - \sin 65^\circ \sin 5^\circ} $$ Свернем числитель и знаменатель по формуле косинуса суммы: $$ \frac{\cos(66^\circ + 4^\circ)}{\cos(65^\circ + 5^\circ)} = \frac{\cos 70^\circ}{\cos 70^\circ} = 1 $$ Получили тождество $1 = 1$. **Ответ:** Равенство истинно. --- ### 6) $$ \frac{\cos 70^\circ \cos 10^\circ + \cos 80^\circ \cos 20^\circ}{\cos 68^\circ \cos 8^\circ + \cos 82^\circ \cos 22^\circ} = 1 $$ Применим формулы приведения: - $\cos 80^\circ = \cos(90^\circ - 10^\circ) = \sin 10^\circ$ - $\cos 20^\circ = \cos(90^\circ - 70^\circ) = \sin 70^\circ$ - $\cos 82^\circ = \cos(90^\circ - 8^\circ) = \sin 8^\circ$ - $\cos 22^\circ = \cos(90^\circ - 68^\circ) = \sin 68^\circ$ Подставим эти значения: $$ \frac{\cos 70^\circ \cos 10^\circ + \sin 70^\circ \sin 10^\circ}{\cos 68^\circ \cos 8^\circ + \sin 68^\circ \sin 8^\circ} $$ Применим формулу косинуса разности $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$: $$ \frac{\cos(70^\circ - 10^\circ)}{\cos(68^\circ - 8^\circ)} = \frac{\cos 60^\circ}{\cos 60^\circ} = 1 $$ Получили тождество $1 = 1$. **Ответ:** Равенство истинно.